Question

Внутри отрезка AB выбрали точки C и D так, что AC=BD. Докажите, что для любой точки плоскости X верно неравенство XA+XB⩾XC+XD.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

При ортогональном проецировании соотношение наклонных равно соотношению проекций. Поэтому во второй части вместо наклонных я буду рассматривать их проекции

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что AC = BD. Обозначим их общую длину как d: AC = BD = d.

Теперь рассмотрим треугольники XAC и XBD. По неравенству треугольника для треугольника XAC, мы имеем: XA + AC ≥ XC.

Аналогично, для треугольника XBD: XB + BD ≥ XD.

Заметим, что AC = BD = d. Подставим это значение в неравенства: XA + d ≥ XC, XB + d ≥ XD.

Сложим оба неравенства: (XA + d) + (XB + d) ≥ XC + XD.

Упростим выражение: XA + XB + 2d ≥ XC + XD.

Так как XA + XB + 2d = XA + XB + AC + BD, а точки C и D находятся на отрезке AB, то AC + BD = AB. Поэтому: XA + XB + 2d = XA + XB + AB.

Получаем: XA + XB + AB ≥ XC + XD.

Таким образом, мы доказали, что для любой точки плоскости X выполняется неравенство XA + XB ≥ XC + XD.