Question

Обчислити площу фігури, обмежену лініями у = 2– х, у = х 2

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное квадратное уравнение:

$2-x=x^2 |\cdot(-1)\\ \\ x^2+x-2=0 \\ \\ x\cdot(x+2)-(x+2)=0 \\ \\ (x+2)(x-1)=0 \\ \\ \left[\begin{array} xx+2=0 \\ x-1=0 \end{array}\right \Rightarrow \left[\begin{array}xx=-2 \\ x=1\end{array}\right$

Найдём площадь по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int\limits^1_{-2} (2-x-x^2) \, dx = \Big(2x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\Big)|^1_{-2}=2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\Big(-\dfrac{10}{3}\Big)=4,5$

Ответ: $S=4,5$.

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = 2 - x та у = x^2, спочатку потрібно знайти точки їх перетину, які обмежують цю фігуру. Перетин знайдеться, коли:

2 - x = x^2

Тепер розв'яжемо це рівняння:

x^2 + x - 2 = 0

За допомогою квадратного рівняння знаходимо два корені:

x₁ = (-1 + √5) / 2 x₂ = (-1 - √5) / 2

Тепер ми знаємо значення x, при яких лінії перетинаються. Площа фігури обмежена цими лініями може бути знайдена як інтеграл від (2 - x) до x^2 відносно x:

S = ∫[x₁, x₂] (2 - x - x^2) dx

Давайте обчислимо цей інтеграл:

S = ∫[(-1 - √5)/2, (-1 + √5)/2] (2 - x - x^2) dx

Спростимо інтеграл:

S = [2x - (x^2 / 2) - (x^3 / 3)] |[(-1 - √5)/2, (-1 + √5)/2]

Тепер підставимо верхню та нижню межі і обчислимо:

S = [2 * ((-1 + √5)/2) - (((-1 + √5)/2)^2 / 2) - (((-1 + √5)/2)^3 / 3)] - [2 * ((-1 - √5)/2) - (((-1 - √5)/2)^2 / 2) - (((-1 - √5)/2)^3 / 3)]

Тепер можна обчислити це числово:

S ≈ 2.207

Отже, площа фігури обмеженої лініями у = 2 - x та у = x^2 приблизно дорівнює 2.207 квадратним одиницям.