Question

написать уравнение прямой, проходящей через точки А и В если А) А(2;1;3) В(-1;0;1) Б) А(-2;1;1) В(1;1;-1)

Answer 1

Ответ:

А) (x-2)/(-3)=(y-1)/(-1)=(z-3)/(-2)

Б) (x+2)/3=(z-1)/(-2)

Объяснение:

Каноническое уравнение прямой по 2-м точкам составляется по формуле

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)  (1)

x1;y1;z1 -  координаты точки А

x2;y2;z2 -  координаты точки В

Далее подставляем в уравнение (1) и получаем требуемое уравнение.

Нужно обратить внимание, что в примере Б y2-y1=0,  поэтому члена с у в уравнении не будет.  На самом деле это означает, что прямая проходит только в плоскости XOZ.

Answer 2

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки в трехмерном пространстве, мы можем использовать параметрическую формулу прямой:

$\vec{r} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

где:

• $\vec{r}$ - вектор положения точки на прямой
• $\vec{a}$ - вектор, задающий одну из данной точек (например, точку А)
• $t$ - параметр, который будет изменяться, чтобы получить все точки на прямой
• $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой, который можно получить как разницу векторов $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a}$, где $\vec{b}$ - другая данная точка (например, точка В)

Для первого случая (точки А(2;1;3) и В(-1;0;1)):

$\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ $\vec{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$

Теперь уравнение прямой будет выглядеть:

$\vec{r} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}$

Для второго случая (точки А(-2;1;1) и В(1;1;-1)):

$\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

$\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$