Question

написать уравнение прямой, проходящей через точки А и В если А) А(2;1;3) В(-1;0;1) Б) А(-2;1;1) В(1;1;-1)

Answer 1

Ответ:

А) (x-2)/(-3)=(y-1)/(-1)=(z-3)/(-2)

Б) (x+2)/3=(z-1)/(-2)

Объяснение:

Каноническое уравнение прямой по 2-м точкам составляется по формуле

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)  (1)

x1;y1;z1 -  координаты точки А

x2;y2;z2 -  координаты точки В

Далее подставляем в уравнение (1) и получаем требуемое уравнение.

Нужно обратить внимание, что в примере Б y2-y1=0,  поэтому члена с у в уравнении не будет.  На самом деле это означает, что прямая проходит только в плоскости XOZ.

Answer 2

Чтобы написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в трехмерном пространстве, можно воспользоваться параметрической формой уравнения прямой:

$\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d},$

где:

• $\vec{r}$ - вектор, представляющий точку на прямой,
• $\vec{a}$ - вектор, соответствующий одной из заданных точек (например, точке А),
• $t$ - параметр, который позволяет нам находить различные точки на прямой,
• $\vec{d}$ - направляющий вектор прямой, который можно получить как разность векторов между точками А и В: $\vec{d} = \vec{B} - \vec{A}$.

Для точек A(2;1;3) и B(-1;0;1) направляющий вектор будет:

$\vec{d} = \vec{B} - \vec{A} = (-1 - 2) \hat{i} + (0 - 1) \hat{j} + (1 - 3) \hat{k} = -3 \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}.$

Теперь у нас есть параметрическое уравнение:

$\vec{r} = \vec{A} + t\vec{d},$

подставив вектор А и направляющий вектор $\vec{d}$:

$\vec{r} = (2 \hat{i} + 1 \hat{j} + 3 \hat{k}) + t(-3 \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}).$

Уравнение для данного случая будет:

$x = 2 - 3t,$ $y = 1 - t,$ $z = 3 - 2t.$

Аналогично, для точек A(-2;1;1) и B(1;1;-1) направляющий вектор будет:

$\vec{d} = \vec{B} - \vec{A} = (1 - -2) \hat{i} + (1 - 1) \hat{j} + (-1 - 1) \hat{k} = 3 \hat{i} + 0 \hat{j} - 2 \hat{k}.$

И параметрическое уравнение:

$\vec{r} = \vec{A} + t\vec{d},$

подставив вектор А и направляющий вектор $\vec{d}$:

$\vec{r} = (-2 \hat{i} + 1 \hat{j} + 1 \hat{k}) + t(3 \hat{i} + 0 \hat{j} - 2 \hat{k}).$