Question

В окружность радиуса равна 5 вписан правильный треугольник , в который вписан круг , а в этот круг вписан квадрат . Найдите периметр этого квадрата

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Радиус окружности ,вписанной в правильный треугольник:

$r=\frac{R}{2} =\frac{5}{2} =2,5$ см

Сторона квадрата тогда равна:

$\frac{a}{\sqrt{2} } =2,5\\\\a=2,5\sqrt{2}$

P=4a=4*2,5√2=10√2 см

Answer 2

Пусть $O$ - центр окружности, в которую вписан правильный треугольник. Также пусть $A$, $B$ и $C$ - вершины этого треугольника, а $M$, $N$ и $P$ - середины сторон треугольника, соответственно. Тогда длина стороны треугольника равна диаметру окружности, то есть $AB = BC = CA = 2r$, где $r$ - радиус окружности.

Согласно свойствам правильного треугольника, радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен $r = \frac{s}{\sqrt{3}}$, где $s$ - длина стороны треугольника.

Теперь, пусть $D$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $E$ - точка касания этой окружности с стороной $AB$, и $F$ - середина стороны $AB$. Тогда $EF = \frac{r}{\sqrt{3}}$ и $DE = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Так как $DE$ - диаметр вписанной окружности треугольника $ABC$, то она также является стороной квадрата, вписанного в этот треугольник. Следовательно, периметр квадрата равен:

$P_{\text{квадрата}} = 4 \cdot DE = 4 \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{8s}{\sqrt{3}}.$

Так как $s = 2r$, мы можем заменить $s$ в уравнении:

$P_{\text{квадрата}} = \frac{8 \cdot 2r}{\sqrt{3}} = \frac{16r}{\sqrt{3}}.$

Подставив значение радиуса $r = 5$, мы получим:

$P_{\text{квадрата}} = \frac{16 \cdot 5}{\sqrt{3}} = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.18.$

Таким образом, периметр вписанного в круг квадрата составляет приблизительно 46.18.