Question

В треугольнике выполнены соотношения АВ =9, ВС=21, СА=15, ∠А=120∘. Найдите длину отрезкa AI , где I — точка пересечения биссектрис треугольника .

Answer 1

Ответ:3

Объяснение:как то так

Answer 2

Ответ 3. Смотрим на фото.

Answer 3

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему биссектрисы треугольника. Согласно данной теореме, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону пропорционально ближайшим сторонам угла.

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом:

• $AB = 9$
• $BC = 21$
• $CA = 15$
• $AI = x$ (то, что нам нужно найти)
• $BI = y$ (длина отрезка, на который биссектриса угла B делит сторону AC)
• $CI = z$ (длина отрезка, на который биссектриса угла C делит сторону AB)

Согласно теореме биссектрисы: $\frac{CI}{CA} = \frac{BI}{BA}$

Подставим известные значения: $\frac{z}{15} = \frac{y}{9}$

Также из угла А = 120° следует, что угол B = 180° - 120° = 60°. Теперь мы можем использовать закон синусов в треугольнике BCI: $\frac{CI}{\sin{\angle{CBI}}} = \frac{BI}{\sin{\angle{BCI}}}$

Из угла BCI следует, что $\angle{BCI} = \angle{ACB}/2 = 60°/2 = 30°$, а из угла CBI следует, что $\angle{CBI} = \angle{ABC}/2 = 120°/2 = 60°$.

Теперь у нас есть: $\frac{z}{\sin{60°}} = \frac{y}{\sin{30°}}$

Известное значение $\sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin{30°} = \frac{1}{2}$, поэтому: $\frac{z}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{y}{\frac{1}{2}}$ $z = \frac{\sqrt{3}}{2}y$

Мы также можем использовать закон синусов в треугольнике ABC для нахождения выражения для y: $\frac{BC}{\sin{\angle{B}}} = \frac{AC}{\sin{\angle{A}}}$ $\frac{21}{\sin{60°}} = \frac{15}{\sin{120°}}$

Известное значение $\sin{120°} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому: $\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $y = \frac{7}{2}$

Теперь мы можем найти z: $z = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$

Таким образом, длина отрезка AI равна $x = AC - CI = 15 - \frac{7\sqrt{3}}{4}$