Question

В координатной плоскости задан треугольник ABC с поверхностью 70. Концы имеют следующие координаты B (12,19), C (23,20) и A (p, q). Медиана, падающая в направлении BC, имеет угловой коэффициент -5. Найти р+q?

Answer 1

Даны координаты точек B (12,19), C (23,20) и A (p, q).

Площадь треугольника АВС равна 70 кв.ед.

Угловой коэффициент медианы АМ равен -5.

Находим уравнение прямой ВС и длину отрезка ВС.

|ВС| = √((23-12)² + (20-19)²) = √(11² + 1²) = √122.

BC: (x - 12)/11 = (y - 19)/1,   х - 12 = 11у - 209.

Уравнение ВС: х - 11у + 197.

Теперь найдём высоту треугольника АВС:

h = 2S/|AB| = 2*70/√122 = 140/√122.

Точка А лежит на прямой, параллельной ВС и отстоящей выше или ниже на расстоянии h.

Так как точка принадлежит медиане АМ, находим координаты точки М - середины отрезка ВС.

М((12+23)/2); (19+20)/2) = ((35/2); (39/2)).

Уравнение медианы через точку М в виде у = кх + в. Подставим координаты точки М. 39/2 = -5*(35/2) + в,

отсюда в = (39/2) + (175/2) = 214/2 = 107.

Уравнение АМ: у = -5х + 107 или у + 5х - 107 = 0.

Уравнение прямой, удаленной на расстояние h  от исходной имеет вид: Ax + By + C ± h√(A² + B²).

Подставим коэффициенты уравнения ВС (для параллельных прямых они сохраняются).

АЕ = х - 11у + 197 - (140/√122)*√(1² + 11²) = х - 11у + 57.

А1Д = х - 11у + 197 + (140/√122)*√(1² + 11²) = х - 11у + 337.

Координаты точек А и А1 находим как точки пересечения прямых.

х - 11у + 337 = 0 (х-5),   -5х + 55у - 1685 = 0

5х + у - 107 = 0,           5х + у - 107 = 0      

                                           56у = 1792     у = 1792/56 = 32.

                                                             х = 11*32 - 337 = 15.

Точка А1(32; 15). Аналогично для А.

х - 11у + 57 = 0 (х-5),   -5х + 55у - 285 = 0

5х + у - 107 = 0,           5х + у - 107 = 0      

                                           56у = 392     у = 392/56 = 7.

                                                             х = 11*7 - 57 = 20.

Точка А(20; 7).

Ответ: 2 значения p+q = 27 и 47.

Answer 2

Давайте начнем с вычисления координат вершины A треугольника ABC. Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить как половину произведения длин базы и высоты, проведенной к этой базе. Так как мы знаем площадь треугольника (70), можно выразить высоту треугольника относительно базы BC:

Площадь ABC = 0.5 * BC * высота 70 = 0.5 * 11 * высота высота = 70 / 5.5 высота = 12.727...

Так как медиана из вершины A делит базу BC пополам, то длина отрезка AM (где M - середина BC) равна половине длины BC:

AM = 0.5 * BC = 0.5 * 11 = 5.5

Угловой коэффициент медианы, падающей на BC, равен -5, это означает, что угловой коэффициент отрезка AM равен -5:

AM = (q - 19) / (p - 12) = -5

Мы также знаем, что вершина A лежит на медиане, следовательно, её координаты должны быть равны координатам точки M:

(p, q) = (12 + 5.5, 19 + 12.727...) (p, q) = (17.5, примерно 31.727...)

Теперь, чтобы найти сумму p + q, мы можем сложить координаты вершины A:

p + q = 17.5 + 31.727... ≈ 49.227...

Итак, значение p + q примерно равно 49.227.