Question

Из точки O пересечения диагонали квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что угол ОBM = 30 градусов. Найдите косинус угла АВМ

Answer 1

Ответ:√3/(2*√2)=√6/4

Объяснение:

Пусть ABCD- данный квадрат. Пусть АВ=ВС=CD=AD=a

Тогда BD= a*√2    Тогда ВО=АО= а*√2/2

Тогда ВМ=АМ=ВО/cos ∡OBM=a*√2/2/cos30°=a*√2/√3

Искомый оугол является углом в треугольнике АМВ, причем стороны АМ и ВМ равны =a*√2/√3, а сторона АВ=а

Проведем высоту МН в этом треугольнике. Причем так как треугольник АМВ равнобедренный, то высота МН является также медианой и НВ=АВ/2=a/2

Тогда сos ∡HBM=cos∡ABM= HB/MB= a/2/(a*√2/√3)=√3/(2*√2)=√6/4

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно. У нас есть квадрат ABCD, и диагональ BD пересекается с его плоскостью в точке O. Также из точки O восстановлен перпендикуляр ОМ, и известно, что угол ОBM равен 30 градусам.

Для нахождения косинуса угла АВМ нам потребуется использовать свойства геометрии.

Обозначим сторону квадрата как "a".

Поскольку квадрат ABCD имеет прямые углы и равные стороны, мы знаем, что он также является равнобедренным треугольником, и угол BAD равен 45 градусам.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ОBM. У нас есть угол ОBM равный 30 градусам, и мы также знаем, что ОМ перпендикулярен BM.

Следовательно, в треугольнике ОBM у нас есть две известные стороны и угол между ними, и мы можем использовать косинусную теорему:

$\cos(\angle OBM) = \frac{BM}{OM}$

$\cos(30^\circ) = \frac{BM}{OM}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BM}{OM}$

$BM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot OM$

Теперь мы можем рассмотреть треугольник АВМ. Мы знаем, что угол АBM равен 45 градусам (поскольку он равен половине угла квадрата) и что угол ОBM равен 30 градусам. Следовательно, угол АВМ равен:

$\angle АВМ = 180^\circ - \angle АBM - \angle ОBM$

$\angle АВМ = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ$

$\angle АВМ = 105^\circ$

Теперь мы можем найти косинус угла АВМ, используя косинус этого угла:

$\cos(\angle АВМ) = \cos(105^\circ)$

$\cos(105^\circ) = -\cos(75^\circ)$

$\cos(105^\circ) = -\sin(15^\circ)$

$\cos(105^\circ) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Итак, косинус угла АВМ равен $-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.