Question

Окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений двух его катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру треугольника

Answer 1

Ответ:

=============================

Объяснение:

Answer 2

Объяснение:смотрите во вложении

Answer 3

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и AC - катеты, BC - гипотенуза. Пусть также окружность касается гипотенузы BC и продолжений катетов AB и AC.

Поскольку окружность касается гипотенузы BC и продолжений катетов AB и AC, то точка касания на гипотенузе образует прямой угол с гипотенузой, а также с катетами AB и AC.

Посмотрим на треугольник ABC. Он состоит из двух прямых углов, так как угол касания окружности к гипотенузе и угол в вершине C оба являются прямыми. Следовательно, угол в вершине B также является прямым углом.

Таким образом, мы видим, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Пусть r - радиус окружности, a и b - длины катетов AB и AC соответственно.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольник, образованный катетами AB, AC, половиной гипотенузы BC и отрезком, соединяющим точку касания окружности с гипотенузой BC. Этот прямоугольник можно разделить на два прямоугольника, один из которых является прямоугольником со сторонами r и a, а другой - прямоугольником со сторонами r и b.

Площадь прямоугольника, составленного из этих двух прямоугольников, равна S = r * a + r * b = r * (a + b).

С другой стороны, площадь этого прямоугольника также равна половине произведения катета AB (a) на гипотенузу BC (2r), то есть S = a * 2r / 2 = a * r.

Также, площадь этого прямоугольника равна площади прямоугольного треугольника ABC, то есть S = (1/2) * AB * AC = (1/2) * a * b.

Из равенства двух выражений для площади прямоугольника мы получаем:

r * (a + b) = a * r = (1/2) * a * b.

Отсюда следует, что 2 * (a + b) = b, и, следовательно, a + b = BC.

Таким образом, a + b + BC = 2 * BC, что соответствует удвоенному значению гипотенузы треугольника ABC.

Итак, периметр треугольника ABC равен 2 * (a + b + BC) = 2 * 2 * BC = 4 * BC, а диаметр окружности равен 2 * r = 2 * BC.

Таким образом, периметр треугольника действительно равен диаметру окружности.