Question

Нужна помощь) Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает её в точках A и D, а меньшую окружность — в точках B и C. Найдите отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности, если AB:BC:CD=3:7:2.​

Answer 1

Ответ:

1,5

Объяснение:

Answer 2

Обозначим радиус большей окружности как $R$, а радиус меньшей окружности как $r$.

Из условия $AB:BC:CD = 3:7:2$ мы можем записать, что:

$\frac{AB}{BC} = \frac{3}{7}$ и $\frac{BC}{CD} = \frac{7}{2}$.

Поскольку отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ пересекаются в центре большей окружности, мы можем использовать эти отношения для выражения радиусов через эти отрезки.

Рассмотрим треугольник $OAB$ (где $O$ - центр большей окружности). Мы знаем, что $OA = OB = R$ (радиус большей окружности), и $AB$ - это сумма радиусов меньшей и большей окружностей: $AB = r + R$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{AB}{BC} = \frac{OA + OB}{BC} = \frac{2R}{BC} = \frac{3}{7}$.

Отсюда получаем:

$BC = \frac{2R \cdot 7}{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник $OCD$ (где $O$ - центр большей окружности). Здесь $OD = OC = R$ (радиус большей окружности), и $CD$ - это разность радиусов большей и меньшей окружностей: $CD = R - r$.

Таким образом, мы можем записать:

$\frac{BC}{CD} = \frac{BC}{OA - OC} = \frac{BC}{2R - r} = \frac{7}{2}$.

Отсюда получаем:

$2R - r = \frac{2 \cdot 7}{2} \cdot BC = 7 \cdot BC$.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно $BC$ и $R$:

\begin{align*} \frac{2R}{BC} &= \frac{3}{7} \\ 2R - r &= 7 \cdot BC \end{align*}

Из первого уравнения:

$BC = \frac{2R \cdot 7}{3}$.

Подставив это значение во второе уравнение:

$2R - r = 7 \cdot \frac{2R \cdot 7}{3}$.

Упростим:

$2R - r = \frac{98R}{3}$.

Теперь выразим $r$ через $R$:

$r = 2R - \frac{98R}{3} = \frac{6R - 98R}{3} = \frac{-92R}{3}$.

Мы также знаем, что $CD = R - r$, поэтому:

$CD = R - \frac{-92R}{3} = R + \frac{92R}{3} = \frac{95R}{3}$.

Теперь можем найти отношение радиусов:

$\frac{R}{r} = \frac{R}{\frac{-92R}{3}} = \frac{3}{-92} = -\frac{3}{92}$.

Так как радиус не может быть отрицательным, мы берем абсолютное значение:

$\frac{R}{r} = \frac{3}{92}$