Question

А) В трeугoльникe ABC прoвeдeны высoты AA1 и BB1. Извeстнo, чтo AB=6, A1B1=3√2. Чeму равeн угoл ACB? (Первая лeмма o высoтах). б) Угoл ACB трeугoльника ABC равeн 60°. Высoты AA1и BB1 пeрeсeкаются в тoчкe H, BH=3, HB1=2. Чeму равна высoта AA1? (Втoрая лeмма o высoтах).

Answer 1

Объяснение: см. во вложении

Answer 2

а) Первая лемма о высотах утверждает, что в треугольнике высоты, проведенные к его сторонам, делятся друг на друга и находятся в той же пропорции, что и сами эти стороны.

Пусть $h_A$ и $h_B$ - высоты, проведенные из вершин A и B соответственно, а $c$ - сторона треугольника противолежащая вершине C.

Известно, что $AB = 6$ и $A_1B_1 = 3\sqrt{2}$. По первой лемме о высотах:

$\frac{h_A}{h_B} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$

Так как сумма отношений длин сторон и высот треугольника равна 1, можно записать:

$1 = \frac{c}{h_A} + \frac{c}{h_B} = c \left(\frac{1}{h_A} + \frac{1}{h_B}\right) = c \frac{h_A + h_B}{h_A \cdot h_B}.$

Отсюда, зная, что $\frac{h_A}{h_B} = \sqrt{2}$:

$c = \frac{h_A \cdot h_B}{h_A + h_B} = \frac{(h_B \cdot \sqrt{2}) \cdot h_B}{h_B + h_B \cdot \sqrt{2}} = \frac{2h_B^2}{1 + \sqrt{2}}.$

Из выражения для площади треугольника через высоты (S = 1/2 * c * h_C) и зная, что высота $h_C$ соответствующая стороне AB равна $h_A \cdot h_B / c$:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h_B^2}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{h_A \cdot h_B}{\frac{2h_B^2}{1 + \sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \cdot h_A \cdot h_B.$

Используя формулу площади треугольника через его стороны и синус угла между этими сторонами ($S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot A_1B_1 \cdot \sin{\angle ACB}$), можно записать:

$\frac{1}{2} \cdot h_A \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin{\angle ACB} = 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin{\angle ACB} = 18 \sin{\angle ACB}.$

Таким образом, имеем:

$18 \sin{\angle ACB} = \frac{1}{2} \cdot h_A \cdot h_B.$