Question

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Докажите, что площади треугольников ABK и BCK равны

Answer 1

Дано :

Четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Отрезки BD и АС — диагонали.

Точка К — точка пересечения диагоналей.

Доказать :

S(∆ABK) = S(∆BCK).

Доказательство :

• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Отсюда АК = СК.

Рассмотрим ∆АВС.

Отрезок ВК — медиана (по определению).

• Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

Отсюда S(∆ABK) = S(∆BCK).

Ответ :

Что требовалось доказать.

Answer 2

Пусть ABCD - параллелограмм, а диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Нам нужно доказать, что площади треугольников ABK и BCK равны.

Для доказательства этого факта, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма и диагоналей:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны.
2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения на две равные части.

Для начала рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что диагонали AC и BD пересекаются в точке K, и по свойству диагоналей параллелограмма, точка K делит каждую диагональ на две равные части:

AK = KC (1) BK = KD (2)

Также из свойств параллелограмма мы знаем, что противоположные углы равны. Это означает, что угол BAK равен углу CKD.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ABK и BCK.

В треугольнике ABK:

• Мы знаем, что AK = KC (из (1)).
• У нас есть общая сторона BK.

Из этих двух фактов следует, что треугольники ABK и BCK имеют равные боковые стороны и общую сторону BK, а также равные углы BAK и CKD.

По свойству равных треугольников (SSS - сторона-сторона-сторона) у нас есть:

Треугольник ABK ≅ Треугольник BCK

Следовательно, у этих треугольников равны площади. Таким образом, площадь треугольника ABK равна площади треугольника BCK:

Площадь ABK = Площадь BCK

Это завершает доказательство. Мы использовали свойства параллелограмма и диагоналей, чтобы показать, что площади треугольников ABK и BCK равны.