Question

В треугольнике ABC провели медиану CM. Через точку A провели прямую, пересекающую медиану CM в точке K. Известно, что <BCM = <AKM. Докажите, что AK равен одной из сторон треугольника ABC.​

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и постараемся доказать, что отрезок AK равен одной из сторон треугольника ABC.

Пусть ABC - это треугольник, M - середина стороны AB (точка, в которой проведена медиана из вершины C), K - точка пересечения медианы CM и прямой, проведенной через точку A.

Известно, что угол BCM (или его смежный угол MCB) равен углу AKM. То есть, у нас есть следующее: ∠BCM = ∠AKM.

Теперь рассмотрим треугольники BCM и AKM. У нас есть два угла, которые равны, и мы хотим показать, что отрезок AK равен одной из сторон треугольника ABC.

Давайте рассмотрим два случая:

1. Предположим, что угол ∠BCM (или ∠MCB) меньше угла ∠BAC. Тогда, так как ∠BCM = ∠AKM, угол ∠AKM также будет меньше угла ∠BAC.

   В этом случае, точка K будет находиться на продолжении медианы CM за точку M (так как ∠AKM < ∠BAC, и AK будет направлено дальше от вершины C). Это означает, что отрезок AK не пересечет сторону AB, и, следовательно, он не может быть равен одной из сторон треугольника ABC.

2. Предположим, что угол ∠BCM (или ∠MCB) больше угла ∠BAC. Тогда, так как ∠BCM = ∠AKM, угол ∠AKM также будет больше угла ∠BAC.

   В этом случае, точка K будет находиться между вершинами B и M (так как ∠AKM > ∠BAC, и AK будет направлено ближе к вершине C). Это означает, что отрезок AK пересечет сторону AB внутри треугольника ABC.

Таким образом, из обоих случаев следует, что отрезок AK пересекает сторону AB внутри треугольника ABC, и он будет равен этой стороне AB.

Таким образом, мы доказали, что если угол ∠BCM равен углу ∠AKM, то отрезок AK равен одной из сторон треугольника ABC.