Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжения боковых сторон AB и DC этого четырехугольника пересекаются в точке N. Найдите угол AND, если известно, что ∠BDC=20 ∘ и ∠ABD=75 ∘.

Answer 1

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжения боковых сторон AB и DC этого четырехугольника пересекаются в точке N. Найдите угол AND, если известно, что ∠BDC=20 ∘ и ∠ABD=75 ∘.

Объяснение:

По т. о вписанном угле ∪AD=2*∠ABD=150°  и

                                         ∪ВС=2*∠BDC=40°.

По т. "Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами"  получаем ∠AND= $\frac{150-40}{2}$ =55°

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию. У нас есть четырехугольник ABCD, вписанный в окружность, где ∠BDC = 20° и ∠ABD = 75°. Мы хотим найти угол ∠AND.

Для начала, давайте воспользуемся свойствами вписанных углов и углов, опирающихся на дуги окружности. Заметим, что ∠BCD - это угол, опирающийся на дугу BC. Так как четырехугольник ABCD вписанный, то этот угол равен половине меры дуги BC.

Другой угол, который нам интересен, - это ∠BAD. Этот угол также опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BAD = ∠BCD = 20°.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD. У нас есть два угла в этом треугольнике: ∠ABD = 75° и ∠BAD = 20°. Мы можем найти третий угол, используя свойство суммы углов в треугольнике:

∠ADB = 180° - (∠ABD + ∠BAD) = 180° - (75° + 20°) = 180° - 95° = 85°.

Теперь у нас есть угол ∠ADB, и мы хотим найти ∠AND. Для этого давайте рассмотрим треугольник ADN. У нас есть два угла в этом треугольнике: ∠AND (который мы ищем) и ∠ADB, который мы только что нашли и равен 85°.

Сумма углов в треугольнике ADN равна 180°, поэтому мы можем найти ∠AND следующим образом:

∠AND = 180° - ∠ADB = 180° - 85° = 95°.

Таким образом, угол ∠AND равен 95°.