Question

В параллелограмме ABCD на диагонали AC взята точка E такая, что AE : EC = 1 : 3. В треугольнике ACD проведена медиана DF и на этой медиане взята точка G такая, что DG : GF = 2 : 1. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника AEGD равна 36.

Answer 1

Ответ:

172, 8. Если, конечно, нет опечатки в условии, и S(AEGD)=36. Если всё же S(AEGD)=35, то ответ будет 168.

Объяснение: в приложении.

Answer 2

Обозначим стороны параллелограмма следующим образом:

AB = a, AD = b, и пусть точка пересечения медианы DF и боковой стороны AB называется M.

Из условия AE : EC = 1 : 3 мы можем сказать, что AM : MC = 1 : 3. А так как AM является медианой треугольника ACD, то точка M делит сторону CD в отношении 1 : 2. Таким образом, CM = 2a.

Аналогично, из DG : GF = 2 : 1, мы получаем, что DM : MF = 2 : 1. Так как DM является медианой треугольника ACD, то точка M делит сторону AC в отношении 2 : 1. Таким образом, AM = 2b.

Теперь у нас есть три равенства по сторонам параллелограмма ABCD:

1. AM = 2b
2. MC = 2a
3. AC = AM + MC = 2b + 2a = 2(a + b)

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам нужно найти его высоту относительно одной из сторон. Для этого давайте рассмотрим треугольник AEG. Площадь этого треугольника можно найти как половину произведения его базы AE и высоты, опущенной на эту базу из вершины G.

Пусть высота треугольника AEG обозначается как h. Тогда:

Площадь треугольника AEG = (1/2) * AE * h

Мы знаем, что площадь четырехугольника AEGD равна 36, а это также равно сумме площадей треугольников AEG и CGD:

Площадь треугольника AEG + Площадь треугольника CGD = 36

Подставляя выражение для площади треугольника AEG, получаем:

(1/2) * AE * h + (1/2) * CG * h = 36

Подставляем AE = AM + ME = 2b + b = 3b и CG = CM - MG = 2a - (2/3) * MF = 2a - (2/3) * h, где MF = (2/3) * h (из-за соотношения DM : MF = 2 : 1):

(1/2) * 3b * h + (1/2) * (2a - (2/3) * h) * h = 36

1.5bh + ah - (1/3) * h^2 = 36

Упрощаем:

1.5bh + ah - (1/3) * h^2 = 36

4.5bh + 3ah - h^2 = 108

h^2 - 3ah - 4.5bh + 108 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно высоты h. Решим его, используя квадратное уравнение:

h^2 - 3ah - 4.5bh + 108 = 0

Решение этого уравнения даст нам два значения высоты h. Подставив высоту h в формулу для площади параллелограмма (S = bh), мы сможем найти площадь ABCD.