Question

Доведіть, що пряма x+y=5 є дотичною до кола (x-3)^2+(y-2)^2=8 та знайдіть координати точки дотику.

Answer 1

у=-х+5;  

(х-3)²+(у-2)²=8

х²-6х+9+у²-4у+4=8

х²-6х+9+(5-х)²-4*(5-х)-4=0

х²-6х+9+25-10х+х²-20+4х-4=0

2х²-12х+10=0

х²-6х+5=0

корнями этого уравнения являются точки х=1 и х=5

Если х=1, то у =4, если  х=5, то у=0, т.е. прямая у+х=5 и окружность (x-3)²+(y-2)²=8 имеют две общие точки (1;4) и (5;0),  значит, пересекаются и прямая у+х=5 никак не может быть касательной к окружности. Видимо. неточность в условии.

Answer 2

Для того щоб довести, що пряма x+y=5 є дотичною до кола (x-3)^2+(y-2)^2=8, ми повинні знайти точку дотику цієї прямої з колом та перевірити, чи виконується умова дотику.

1. Знайдемо координати точки дотику: Позначимо координати точки дотику як (a, b). Ця точка лежить одночасно на прямій x+y=5 та на колі (x-3)^2+(y-2)^2=8.

Спершу підставимо координати точки (a, b) в рівняння прямої: a + b = 5 ...(1)

Далі, підставимо координати точки (a, b) в рівняння кола: (a - 3)^2 + (b - 2)^2 = 8

Розгорнемо квадрати та спростимо рівняння: a^2 - 6a + 9 + b^2 - 4b + 4 = 8 a^2 + b^2 - 6a - 4b + 5 = 0 ...(2)

2. Знайдемо точку дотику: Розв'яжемо систему рівнянь (1) та (2) для знаходження координат a та b. Підставимо значення b з рівняння (1) у рівняння (2):

a^2 + (5 - a)^2 - 6a - 4(5 - a) + 5 = 0 a^2 + 25 - 10a + a^2 - 6a - 20 + 5 = 0 2a^2 - 16a + 10 = 0

Розділимо обидві сторони на 2: a^2 - 8a + 5 = 0

Це квадратне рівняння має два корені. Вони можуть бути знайдені за допомогою квадратного рівняння. Використовуючи квадратний корінь, отримаємо: a = (8 ± √(8^2 - 415)) / 2*1 a = (8 ± √44) / 2 a = 4 ± √11

Таким чином, ми маємо два можливі значення a: 4 + √11 та 4 - √11.

Підставимо ці значення a у рівняння (1), щоб знайти відповідні значення b:

Для a = 4 + √11: 4 + √11 + b = 5 b = 1 - √11

Для a = 4 - √11: 4 - √11 + b = 5 b = √11 - 1

Отже, ми маємо дві можливі точки дотику: (4 + √11, 1 - √11) та (4 - √11, √11 - 1).