Question

В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М — середина ВD. а) Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМС. б) Через точку пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую, перпендикулярную плоскости АМС. в) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра. г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость АМС? д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину СМ перпендикулярно прямой АС.

Answer 1

 

 

В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М — середина ВD.

а) Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМС.

Если соединить середину АС с вершинами тетраэдра D и В, то получим равнобедренный треугольникDКВ со сторонами - апофемами граней АDС и АВС, в котором высота КМ этого треугольника перпендикулярна прямой ВD.
А как известно:
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

б) Через точку пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую, перпендикулярную плоскости АМС.

в) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра.

 

Эту длину найдте по теореме Пифагора из треугольника КОР, образованного отрезками медиан треугольников АМС и АDС, равными по 1/3 этих медиан
( медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины). В этом треугольнике отрезок ОР =1/3 медианы КD и является гипотенузой, отрезок КР медианы КМ треугольника АМС - бóльшим катетом, а искомый отрезок ОР- меньшим катетом.
Замечу, что медиана грани АСD и медана сечения АМС не равны между собой, т.к. эти грани имеют общее основание АС, но разную длину. т.к. КМ меньше К.

 

г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость АМС?
Этот отрезок пересекает эту плоскость в точке пересечения медиан и потому никак ее не делит. (Медиана же любого треугольника делит его на два равновеликих треугольника).

д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину СМ перпендикулярно прямой АС.

Это сечение параллельно перпендикулярному к прямой АС сечению через апофемы граней ADC и CDB и подобно ему.
Апофема DL по формуле высоты правильного треугольника а √3:2=2√3:2= √3
Так как половина СМ равна половине апофемы ( медианы), то она равна ½ √3
Остальная часть om стороны плоскости сечения равна половине do как противолежащая углу 30 °в и равна 1/4 √3
dm=1/4*√3+2/4*√3=3/4 ·√3 ( 3/4 DL)
Коэффициент подобия сечения через середину СМ и сечения через апофемы равен 3/4
Площадь сечения через апофемы равна площади равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны апофеме, а основание - половине ребра пирамиды как средняя линия.
Высоту этого треугольника найдем по теореме Пифагора
h=√( 3-1)= √2
Площадь сечения KDL равна 1*√2=√2 см²
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
Искомая площадь сечения через середину СМ=(9 √2):16 см² ≈ 0,8 см²

-------------------------------

Один из рисунков  - где сечение = равносторонний треугольник- неверный, не получается удалить. 

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойства тетраэдра, а также свойства перпендикулярности и медиан треугольника.

Дано: - Тетраэдр ABCD с ребром 2, где точка M - середина BD.

а) Докажем, что прямая BD перпендикулярна плоскости AMC.

Точка M - середина BD, значит, BM = MD.

Также, так как AM является медианой треугольника ABD (так как M - середина BD), то AM делит BD пополам.

Из этого следует, что треугольник AMD равнобедренный, и угол AMB равен углу AMD.

Также, угол AMD равен углу AMC, так как AM параллельно BC (как медиана).

Из этих равенств следует, что угол AMB равен углу AMC, значит, прямая BD перпендикулярна плоскости AMC.

б) Через точку пересечения медиан треугольника ADC проведем прямую, перпендикулярную плоскости AMC.

Пусть точка O - точка пересечения медиан треугольника ADC. Поскольку O является центром тяжести треугольника ADC, то прямая, проходящая через O и перпендикулярная плоскости AMC, будет проходить через точку O и перпендикулярна плоскости AMC.

в) Найдем длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра.

Для этого требуется больше информации о точке или направлении прямой, проведенной через точку O и перпендикулярной плоскости AMC.

г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость AMC?

Для определения отношения, в котором прямая делит плоскость AMC, нужны дополнительные данные о точке или направлении прямой.

д) Найдем площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину SM перпендикулярно прямой AC.

Эта задача требует более подробного описания положения плоскости в тетраэдре, чтобы точно определить форму и размеры сечения. Без точных координат или углов плоскости невозможно точно вычислить площадь сечения тетраэдра.