Question

1. Знайдіть координати точок перетину кола (х-5)^2+(у-5)^2=9 і прмої х+у=7 2. Чому дорівнює радіус кола x^2+y^2+14y-12x+78=0 3. Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y=5x-9 і проходить через центр кола x^2+y^2-6x+2y+6=0 4. Доведіть, що пряма x+y=5 є дотичною до кола (x-3)^2+(y-2)^2=8 та знайдіть координати точки дотику.

Answer 1

1. у=-х+7

(х-5)²+(-х+7-5)²=9; х²-10х+25+х²-4х+4-9=0; 2х²-14х+20=0; х²-7х+10=0; по Виету х=2; х=5; Если х=2, то у=7-2=5; Если х=5, то у=2

Ответ (2;5); (5;2)

2. x²+y²+14y-12x+78=0; (х-6)²-36+(у+7)²-49+78=0; (х-6)²+(у+7)²=7, значит, радиус равен √7, т.к. уравнение окружности в общем виде

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R²; где (х₀;у₀) -центр окружности, а R - его радиус.

3. коэффициент искомой прямой к=5, у =5х+b ; откружность имеет уравнение (х-3)²+(у+1)²-9-1+6=0; (х-3)²+(у+1)²=4; радиус 2, центр (3;-1), значит, в искомое уравнение для нахождения b подставим центр окружности . получим -1=3*5+b⇒b=-16

y=5x-16

4. у=-х+5;  

(х-3)²+(у-2)²=8

х²-6х+9+у²-4у+4=8

х²-6х+9+(5-х)²-4*(5-х)-4=0

х²-6х+9+25-10х+х²-20+4х-4=0

2х²-12х+10=0

х²-6х+5=0

корнями этого уравнения являются точки х=1 и х=5

Если х=1, то у =4, если  х=5, то у=0, т.е. прямая у+х=5 и окружность (x-3)²+(y-2)²=8 имеют две общие точки (1;4) и (5;0),  значит, пересекаются и прямая у+х=5 никак не может быть касательной к окружности. Видимо. неточность в условии.

Answer 2

1. Знайдення точок перетину кола і прямої: Підставляючи значення y з рівняння прямої в рівняння кола: (x + u)^2 + (y + u)^2 = 9, де u = 5 - x,

   (x + 5 - x)^2 + (y + 5 - x)^2 = 9, 25 - 10x + x^2 + y^2 + 10y + 25 - 10x + x^2 = 9, 2x^2 + 2y^2 + 10x + 10y + 41 = 9, 2x^2 + 2y^2 + 10x + 10y + 32 = 0.

   Рівняння прямої: x + y = 7.

2. Радіус кола: Для знаходження радіуса кола x^2 + y^2 + 14y - 12x + 78 = 0, спершу перепишемо рівняння в стандартному вигляді, завершуючи квадрати: x^2 - 12x + y^2 + 14y = -78, x^2 - 12x + 36 + y^2 + 14y + 49 = -78 + 36 + 49, (x - 6)^2 + (y + 7)^2 = 7.

   Зараз ми маємо рівняння круга в стандартному вигляді (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, де (h, k) - центр кола, r - радіус.

   Отже, радіус кола дорівнює √7.

3. Рівняння паралельної прямої, що проходить через центр кола: Для знаходження рівняння прямої, паралельної до y = 5x - 9 і проходить через центр кола x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0, знайдемо координати центра кола, перепишемо рівняння кола в стандартний вигляд, а потім використовуємо властивість паралельних прямих.

   Для знаходження координат центра кола x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0, перепишемо рівняння в форму, завершуючи квадрати: x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = -6 + 9 + 1, (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4.

   Отже, координати центра кола: (3, -1).

   Рівняння прямої, паралельної y = 5x - 9 і проходить через (3, -1): Така пряма матиме той же нахил (східний коефіцієнт), тобто y = 5x + b. Підставляючи координати центра кола (3, -1): -1 = 5 * 3 + b, -1 = 15 + b, b = -16.

   Рівняння прямої: y = 5x - 16.

4. Дотичність прямої x + y = 5 до кола (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 8: Для дотичної прямої до кола в точці дотику, радіус кола буде перпендикулярний до прямої, проведеної в точці дотику.

   Спершу знаходимо координати точки дотику, підставляючи x + y = 5 в рівняння кола: (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 8, (5 - y - 3)^2 + (y - 2)^2 = 8, (2 - y)^2 + (y - 2)^2 = 8, 2y^2 - 8y + 8 = 8, 2y^2 - 8y = 0, 2y(y - 4) = 0.

   Звідси маємо два можливих значення y: y = 0 та y = 4.

   Підставляючи ці значення y в рівняння x + y = 5, отримаємо відповідні значення x: y = 0: x + 0 = 5, x = 5. y = 4: x + 4 = 5, x = 1.

   Отже, точки дотику - (5, 0) і (1, 4).