Question

Точки M и N -середины сторон BC иAD паралеллограмма ABCD. Докажите что прямые BN иMDделят диагонали Ac на три равные части

Answer 1

Признак средней линии треугольника: отрезок параллелен основанию и соединяет середину одной стороны с точкой на другой стороне.

MF - средняя линия в BCE => CF=EF

NE - средняя линия в DAF => AE=EF

AE=EF=CF

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим точки:

   • $M$ - середина стороны $BC$
   • $N$ - середина стороны $AD$
   • $P$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$
   • $X$ - точка пересечения прямых $BN$ и $MD$

2. Докажем, что $MN$ параллельно $AC$: Поскольку $M$ и $N$ - середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно, то отрезки $MN$ и $AC$ имеют общую середину $P$. Также, так как $ABCD$ - параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ делятся пополам точкой $P$, то есть $AP = PC$, и $BP = PD$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle BPN$ и $\triangle DPM$: Поскольку $M$ и $N$ - середины соответствующих сторон, $BM = MC$ и $DN = NA$. Из параллельности $MN$ и $AC$ следует, что $\angle BPN = \angle DPM$ (они оба являются вертикальными углами при пересечении параллельных прямых $BN$ и $MD$ с поперечными $AC$).

4. Докажем, что $\triangle BPN \sim \triangle DPM$: В обоих треугольниках у нас уже есть равные углы $\angle BPN$ и $\angle DPM$. Осталось показать, что у них также равны соответствующие углы $\angle PBN$ и $\angle PDM$. Но так как $ABCD$ - параллелограмм, углы $\angle PBN$ и $\angle PDM$ являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых $BN$ и $MD$ с поперечными $AD$ и $BC$ соответственно.

5. Из подобия $\triangle BPN$ и $\triangle DPM$ следует, что отношение длин $BP$ к $PD$ равно отношению длин $BN$ к $MD$: $\frac{BP}{PD} = \frac{BN}{MD}$.

6. Так как $BP = PD$ (по тому что $P$ - середина диагонали $BD$), то и $BN = MD$.

7. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BXP$: В этом треугольнике у нас есть равные стороны $BN$ и $MD$, а также общий угол $\angle BXP$ (он соответствует вертикальному углу $\angle BPN$).

8. Из равенства сторон и общего угла следует, что $\triangle BXP$ и $\triangle DXP$ равнобедренные.

9. Так как $\triangle BXP$ и $\triangle DXP$ равнобедренные, то $BX = DX$.

10. Таким образом, мы доказали, что точка $X$ делит диагональ $AC$ на три равные части: $AX = XD = XC$.

Таким образом, мы доказали, что прямые $BN$ и $MD$ делят диагональ $AC$ на три равные части.