Question

через вершины треугольника проведены прямые параллельные его противолежащим сторонам Докажите что стороны получившегося треугольника в 2 раза больше сторон исходного треугольника​

Answer 1

ABCD, ABFC, AEBC - параллелограммы (т.к. противоположные стороны параллельны)

Противоположные стороны параллелограмма равны.

AB=CD, AB=FC => FD= FC+CD =2AB

Аналогично DE=2BC, EF=2AC

Answer 2

Пусть у нас есть треугольник ABC, и через его вершины проведены прямые параллельные его противолежащим сторонам. Пусть эти параллельные прямые пересекаются с противоположными сторонами в точках A', B' и C', как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
     A
    / \
A' ---- B
  \  / \
   \/___\
   C  B'

Мы хотим доказать, что стороны треугольника A'B'C' в два раза длиннее соответствующих сторон треугольника ABC.

Для начала, обратим внимание на параллельные прямые. По свойству параллельных линий, мы видим, что треугольники ABA' и A'BC' подобны, так как углы между параллельными линиями соответственно равны (альтернативные углы). Аналогично, треугольники BCB' и B'CA' подобны, а также треугольники CAC' и C'AB' подобны.

Теперь рассмотрим отношения сторон в этих подобных треугольниках:

1. В треугольнике ABA': AB / A'B' = AA' / A'A

2. В треугольнике BCB': BC / B'C' = BB' / B'B

3. В треугольнике CAC': CA / C'A' = CC' / C'C

Так как треугольники ABA', BCB' и CAC' подобны соответственно треугольникам A'BC', B'CA' и C'AB', отношения сторон равны:

1. AB / A'B' = A'BC' / A'AC'
2. BC / B'C' = B'CA' / B'AB'
3. CA / C'A' = C'AB' / C'BC'

Сложим все три равенства:

AB / A'B' + BC / B'C' + CA / C'A' = (A'BC' / A'AC') + (B'CA' / B'AB') + (C'AB' / C'BC')

Так как стороны треугольника ABC и A'B'C' линейно пропорциональны, мы можем записать:

AB / A'B' + BC / B'C' + CA / C'A' = 1

Это означает, что сумма обратных отношений сторон треугольника ABC к соответствующим сторонам треугольника A'B'C' равна 1:

1 / (AB / A'B') + 1 / (BC / B'C') + 1 / (CA / C'A') = 1

Теперь заметим, что каждый член вида AB / A'B' представляет собой отношение длин сторон треугольников ABC и A'B'C'. Поскольку сумма таких обратных отношений равна 1, это означает, что каждое отношение по отдельности меньше 1. То есть, каждая сторона треугольника ABC короче соответствующей стороны треугольника A'B'C'. Важно заметить, что это верно для всех трех сторон.

Таким образом, мы доказали, что стороны треугольника A'B'C' в 2 раза длиннее соответствующих сторон треугольника ABC.