Question

Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки A, O и C. Докажите, что точка B лежит в плоскости α.

Answer 1

Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки A, O и C. Докажите, что точка B лежит в плоскости α.

Объяснение:

Плоскость α=(АОС) . Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис ⇒   О∈АD    ⇒D∈ α по аксиоме А2.

Т.к. D∈α , С∈α , то В∈α по А2

==============================

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Answer 2

Для доказательства этого факта рассмотрим свойства треугольника ABC и вписанной окружности.

1. Поскольку точка O - центр вписанной окружности, отрезок OA, OB и OC являются радиусами этой окружности, а также они перпендикулярны соответственно сторонам AB, BC и AC треугольника ABC.

2. Также, так как точка AD - биссектриса треугольника ABC, она делит сторону BC на два отрезка в пропорции длин AB и AC.

Теперь рассмотрим плоскость α, проходящую через точки A, O и C. Поскольку точки A, O и C лежат в данной плоскости, векторное произведение OA и OC также будет лежать в этой плоскости. Так как вектор OA перпендикулярен стороне AB, а вектор OC перпендикулярен стороне AC, то их векторное произведение будет перпендикулярно плоскости α.

Теперь обратим внимание на то, что отрезок OB также является радиусом вписанной окружности и перпендикулярен стороне AB. Так как вектор OB также перпендикулярен плоскости α (по вышеуказанному векторному аргументу), это означает, что отрезок OB также лежит в плоскости α.

Итак, мы видим, что точка B лежит в плоскости α, так как она лежит на отрезке OB, который лежит в этой плоскости. Таким образом, доказано, что точка B лежит в плоскости α.