Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются.​

Answer 1

Объяснение:

Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:

докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.

Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.

Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.

Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.

Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.

Что и требовалось доказать.

может поможет

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD лежит в одной плоскости, мы можем использовать свойство параллелограмма, основанное на пересечении его диагоналей.

По условию задачи, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажем, что точка O лежит на плоскости, содержащей четырехугольник ABCD.

1. Предположим, что четырехугольник ABCD не лежит в одной плоскости. Тогда существует точка E вне этой плоскости.

2. Рассмотрим треугольники AEO и BEO, где точки A, B и O принадлежат четырехугольнику ABCD, а точка E находится вне этого четырехугольника.

3. Поскольку точка O является пересечением диагоналей AC и BD, она лежит и на отрезках AC и BD. Таким образом, точка O принадлежит и отрезкам AO и BO.

4. Предположим, что точка O не лежит на плоскости, содержащей четырехугольник ABCD. Тогда треугольники AEO и BEO не лежат в одной плоскости.

5. Рассмотрим плоскость, содержащую треугольник AEO. Так как точка O принадлежит отрезкам AO и BO, она должна лежать в этой плоскости.

6. Аналогично, рассмотрим плоскость, содержащую треугольник BEO. Так как точка O принадлежит отрезкам AO и BO, она должна лежать и в этой плоскости.

7. Таким образом, точка O должна лежать и в плоскости, содержащей треугольники AEO и BEO. Это противоречие с предположением, что треугольники AEO и BEO не лежат в одной плоскости.

8. Следовательно, наше предположение неверно, и четырехугольник ABCD должен лежать в одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что если диагонали AC и BD пересекаются, то четырехугольник ABCD лежит в одной плоскости.