Question

В треугольнике abc биссектриса AE=EC. Найдите углы треугольника ABC, если AC=2AB можно, пожалуйста, без теоремы косинусов ​

Answer 1

Ответ:

M - середина AC. Треугольники ABE и AME равны по двум сторонам (AM=AC/2=AB) и углу между ними (AE - биссектриса). Значит ∠ABE=∠AME. Т.к. EM - медиана равнобедренного треугольника AEC (AE=EC), то EM - его высота, т.е. ∠AME=90°. Итак, ∠ABC=∠ABE=∠AME=90°.

Значит, треугольники ABE и ADE равны, по двум сторонам и углу между ними. ED – медиана равнобедренного треугольника, следовательно, его высота. Поэтому <АВС = < ADE =90°.

Объяснение:

Удачи

Answer 2

Дано, что биссектриса треугольника $AE$ равна $EC$, а также $AC = 2AB$. Давайте обозначим угол $CAE$ как $\alpha$. Так как биссектриса делит противоположную сторону в соответствующем отношении, то $CE = AE$. Пусть $CE = AE = x$.

Теперь у нас есть два равенства:

1. $CE = AE = x$
2. $AC = 2AB$

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Из этого факта следует:

$\angle CAE + \angle CAB + \angle CBA = 180^\circ$

Так как биссектриса делит угол $C$ на два равных угла, то $\angle CAE = \angle CAB = \frac{\alpha}{2}$.

Из равенства треугольников $CEA$ и $CBA$ по стороне-угол-стороне (СУС) следует, что углы $\angle CEA$ и $\angle CBA$ также равны $\frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, у нас есть:

$\angle CAE = \angle CAB = \angle CEA = \angle CBA = \frac{\alpha}{2}$

Суммируя все углы в треугольнике $ABC$, получаем:

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$

Упрощая выражение:

$\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ$

$\alpha = \frac{2}{3} \cdot 180^\circ = 120^\circ$

Таким образом, угол $\angle CAE$ (или $\angle CAB$) равен $120^\circ$, а остальные два угла $\angle CEA$ и $\angle CBA$ также равны $120^\circ$.