Question

АВСD – параллелограмм, К ∈ AB, AK: KB = 1: 3, E ∈ AD, AE:ED = 4:1 и a = AB, b = AD. Выразите векторы AE, CE и KE через векторы a и b.

Answer 1

Ответ:

AE = (4/5)b. CE = -a - (1/5)b. KE = (4/5)b - (1/4)a.

Объяснение:

Векторы:

AB = a, AD = b.  =>  AK = (1/4)a,  AE = (4/5)b, ED = (1/5)b.

KE = AE - AK = (4/5)b - (1/4)a. (по правилу вычитания векторов)

CE = CD + DE. (по правилу сложения векторов)

CD = -DC = -AB = -a. DE = - ED = -(1/5)AD = -(1/5)b. =>

CE = -a - (1/5)b.

Answer 2

Обозначим векторы:

• $\vec{a}$ - вектор $\overrightarrow{AB}$
• $\vec{b}$ - вектор $\overrightarrow{AD}$
• $\vec{c}$ - вектор $\overrightarrow{AC}$
• $\vec{d}$ - вектор $\overrightarrow{DC}$
• $\vec{e}$ - вектор $\overrightarrow{AE}$
• $\vec{k}$ - вектор $\overrightarrow{KE}$

Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $\vec{c} = \vec{a} + \vec{d}$.

Из условия $AK : KB = 1 : 3$, можно выразить $\vec{d}$ через $\vec{a}$:

$\vec{d} = -\frac{1}{3}\vec{a}$.

Из условия $AE : ED = 4 : 1$, можно выразить $\vec{e}$ через $\vec{b}$:

$\vec{e} = \frac{4}{5}\vec{b}$.

Теперь выразим $\vec{c}$ через $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{d} = \vec{a} - \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{2}{3}\vec{a}$.

Итак, у нас есть следующие выражения:

1. $\vec{d} = -\frac{1}{3}\vec{a}$
2. $\vec{e} = \frac{4}{5}\vec{b}$