Question

При каких значениях m угол между векторами а(0;m;-2) и b(-1;0;-1) равен 60 градусов?

Answer 1

Даны векторы а(0;m;-2) и b(-1;0;-1.

Находим их модули.

|а| = √(0² + m² + (-2)²) = √(m² + 4),

|b| = √(-1)² + 0² + (-1)²) = √2.

cos(a_b) =( axb)/(|a|*|b|) = (0 + m + 2)/(√(m² + 4)*√2) = (m + 2)/(√(2m² + 8).

Так как cos 60° = (1/2). то приравняем:

(m + 2)/(√(2m² + 8) = 1/2,

2m + 4 =  √(2m² + 8), возведём обе части в квадрат.

4m² + 16m + 16 = 2m² + 8.

Получаем квадратное уравнение  2m² + 16m + 8 = 0, или

m² + 8m + 4 = 0.

Ищем дискриминант:

D=8^2-4*1*4=64-4*4=64-16=48;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

m_1=(√48-8)/(2*1)=(√48/2)-(8/2)=(4√3/2)-4= 2√3-4 ≈ -0,535898;

m_2=(-√48-8)/(2*1)=-√48/2-8/2=(-4√3/2-4= -2√3-4≈ -7,464102.

Ответ: m = -4 ±2√3.

Answer 2

Давайте найдем угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ с помощью скалярного произведения и их длин:

Угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ можно найти по следующей формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|},$

где $\theta$ - угол между векторами, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов, а $\|\mathbf{a}\|$ и $\|\mathbf{b}\|$ - их длины.

Для векторов $\mathbf{a} = (0, m, -2)$ и $\mathbf{b} = (-1, 0, -1)$ их скалярное произведение будет:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (0) \cdot (-1) + (m) \cdot (0) + (-2) \cdot (-1) = 2.$

Длины векторов:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{0^2 + m^2 + (-2)^2} = \sqrt{m^2 + 4},$ $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$

Подставим значения в формулу угла:

$\cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{m^2 + 4} \cdot \sqrt{2}}.$

Угол $\theta$ между векторами будет 60 градусов, когда $\cos(\theta) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем и решаем уравнение:

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 4} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}.$

Упростим:

$\sqrt{m^2 + 4} = 4.$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$m^2 + 4 = 16.$

Вычитаем 4:

$m^2 = 12.$

Извлекаем корень:

$m = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$

Таким образом, при $m = 2\sqrt{3}$, угол между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ будет равен 60 градусов.