Question

Дан треугольник MNK. Плоскость параллельная прямой MN, пересекает сторону MK в точке Q, а сторону NK - в точке P. Найдите длину отрезка KP, если QP = 9см, MN = 13см , PN = 8см

Answer 1

Ответ:

18см

Объяснение:

Т.к. QP || MN и угол в вершине K общий. NK=NP+PK=PK+8

Задаём отношение:

$\frac{PK}{9}= \frac{PK+8}{13}\\ 13PK=9PK+72\\4PK=72\\PK=18$

Answer 2

Обозначим точку пересечения отрезков KP и MN как X. Так как плоскость параллельна прямой MN, то угол MPK равен углу QPX (поскольку они соответственные углы при параллельных прямых). Также угол NKP равен углу NQX по той же причине.

Теперь рассмотрим треугольники MPK и QPX:

1. В треугольнике MPK применим теорему косинусов: $KP^2 = MP^2 + MK^2 - 2 \cdot MP \cdot MK \cdot \cos(\angle MPK)$.

2. В треугольнике QPX также применим теорему косинусов: $QP^2 = QX^2 + PX^2 - 2 \cdot QX \cdot PX \cdot \cos(\angle QPX)$.

Учитывая, что $\angle MPK = \angle QPX$ и что $QP = 9$ см, $MP = 8$ см, $MK = 13$ см и $PX = KP$, мы можем записать:

$KP^2 = 8^2 + 13^2 - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cdot \cos(\angle MPK)$, $9^2 = QX^2 + KP^2 - 2 \cdot QX \cdot KP \cdot \cos(\angle QPX)$.

Из первого уравнения найдем $\cos(\angle MPK)$: $\cos(\angle MPK) = \frac{8^2 + 13^2 - KP^2}{2 \cdot 8 \cdot 13}$.

Подставим это значение во второе уравнение: $81 = QX^2 + KP^2 - 2 \cdot QX \cdot KP \cdot \frac{8^2 + 13^2 - KP^2}{2 \cdot 8 \cdot 13}$.

Упростим уравнение: $81 = QX^2 + KP^2 - QX \cdot KP \cdot \frac{8^2 + 13^2 - KP^2}{104}$.

Теперь подставим значение $QP = 9$ и решим уравнение относительно $KP$.

$81 = QX^2 + KP^2 - \frac{9}{104} \cdot KP \cdot (8^2 + 13^2 - KP^2)$.

$81 = QX^2 + KP^2 - \frac{9}{104} \cdot KP \cdot (233 - KP^2)$.

$81 = QX^2 + KP^2 - \frac{9}{104} \cdot KP \cdot (233) + \frac{9}{104} \cdot KP^3$.

$0 = QX^2 + KP^2 + \frac{9}{104} \cdot KP^3 - \frac{9 \cdot 233}{104} \cdot KP + 81$.

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение численно, используя методы численной оптимизации или компьютерное программирование.