Question

Даны координаты вершин треугольника ABC : A(−12;−1); B(0;−10); C(4;12). Необходимо найти: 1. длину стороны AB; 2. уравнение сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3. угол ψ между прямыми AB и BC в радианах; 4. уравнение высоты CD и ее длину; 5. уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD; 6. уравнение прямойL, которая проходит через точку K параллельно к стороне AB; 7. координаты точкиF(xF , yF ) , которая находится симметрично точке A относительно прямой CD.​

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника: A(−12;−1); B(0;−10); C(4;12).

1) Находим длину стороны АВ.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √((0-(-12))²+(-10-(-1))²) = √(144 + 81) =

          =  √225 =  15.

2) Уравнения сторон AB и ВC и их угловые коэффициенты;

Находим векторы АВ и АС:

АВ: (12; -9), ВС:(4; 22).

Получаем уравнения:

АВ: (х + 12)/12 = (у + 1)/(-9),

ВС: х/4 = (у + 10)/22.

Угловые коэффициенты сторон      

Кав = Ув-Уа =  -9/12 = -3/4 = -0,75.

           Хв-Ха

Квс = Ус-Ув = 22/4 = 11/2 = 5,5.

           Хс-Хв

   3) Угол В между прямыми AB и BC в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой. Находим по теореме косинусов.

Находим длины сторон.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 =  15.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.

Векторы ВА: (-12; 9), ВС:(4; 22).

cos В = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5 = 150/(150√5) = √5/5.

В = arc cos(√5/5) ≈ 1,107148718 ≈ 1,11 радиан .

4) Уравнение высоты CD и ее длину.

Находим площадь треугольника по формуле:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.

Подставив координаты точек, получаем S = 150 кв.ед.      

Длина СD = 2S/AB = 2*150/15 = 20.

k(CD) = -1/k(AB) = -1/(-3/4) = 4/3.

Уравнение: у = (4/3)х + в. Подставим координаты точки С.

12 = (4/3)*4 + в, отсюда в  = 12 - (16/3) = 20/3.

Уравнение CD: y = (4/3)x + (20/3) .

5) Уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

Точка Е как середина ВС: ((0+4)/2=2; (-10+12)/2=1) = (2; 1).

Вектор АЕ: (14; 2)

Уравнение АЕ: (х + 12)/14 = (у + 1)/2.

Приведём к виду с угловым коэффициентом:

у = (1/7)х + (5/7).

Точка К как пересечение AE и CD.

Приравниваем:  (1/7)х + (5/7) =  (4/3)x + (20/3),

(-25/21)х = (125/21).

Отсюда х(К) = -5, у(К() = 0.

6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку K параллельно  стороне AB.

Угловой коэффициент  Кав  -3/4 сохраняется для прямой L.

Уравнение у = (-3/4)х + в.

Для определения значения в подставим координаты точки К.

0 = (-3/4)*(-5) + в, отсюда в = 0 - 15/4 = (-15/4).

Уравнение у = (-4/3)х - (15/4).

7) Координаты точки F(xF , yF ) , которая находится симметрично точке A относительно прямой CD (это перпендикуляр к АВ).​

Находим координаты точки Д как точки пересечения высоты СД и стороны АВ. х(Д) = -8, у(Д) = -4.

Тогда x(F) = 2x(D) - x(A) = -16 -(-12) = -4.

          y(F) = 2y(D) - y(A) = -8 -(-1) = -7.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов задачи по очереди:

1. Длина стороны AB: Для нахождения длины стороны AB используем формулу расстояния между двумя точками: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Для точек A(-12, -1) и B(0, -10): AB = √((0 - (-12))^2 + (-10 - (-1))^2) AB = √(12^2 + 9^2) AB = √(144 + 81) AB = √225 AB = 15

2. Уравнение сторон AB и BC и их угловые коэффициенты: Уравнение прямой можно представить в виде y = mx + b, где m - угловой коэффициент, b - свободный член.

a) Уравнение AB: Используем точки A(-12, -1) и B(0, -10): Угловой коэффициент m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-10 - (-1)) / (0 - (-12)) = -9 / 12 = -3/4 Подставляем одну из точек, например, B(0, -10), чтобы найти b: -10 = (-3/4) * 0 + b b = -10

Уравнение AB: y = (-3/4)x - 10

b) Уравнение BC: Используем точки B(0, -10) и C(4, 12): Угловой коэффициент m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (12 - (-10)) / (4 - 0) = 22 / 4 = 11/2 Подставляем одну из точек, например, B(0, -10), чтобы найти b: -10 = (11/2) * 0 + b b = -10

Уравнение BC: y = (11/2)x - 10

3. Угол ψ между прямыми AB и BC в радианах: Угол между двумя прямыми можно найти, используя уравнения их угловых коэффициентов: tan(ψ) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|

Для AB и BC: m1 = -3/4, m2 = 11/2 tan(ψ) = |(11/2 - (-3/4)) / (1 + (-3/4) * (11/2))| = |(11/2 + 3/4) / (1 - (33/8))| = |(17/4) / (-25/8)| = -34/25

Угол ψ = arctan(-34/25) (используя арктангенс в калькуляторе или программе для вычисления углов).

4. Уравнение высоты CD и её длина: Высота перпендикулярна стороне AB, так что её угловой коэффициент будет обратным и противоположным угловому коэффициенту AB.

Угловой коэффициент высоты m_CD = 4/3 (обратный и противоположный -3/4) Подставим координату одной из точек, например, C(4, 12), чтобы найти b: 12 = (4/3) * 4 + b b = 0

Уравнение высоты CD: y = (4/3)x

Длина высоты CD можно найти как расстояние от точки C до прямой AB (перпендикулярно): CD = |(11/2) * 4 + (-10)| / √(11/2)^2 + 1^2) CD = |22 - 10| / √(121/4 + 1) CD = 12 / √(125/4) CD = 12 / (5/2) CD = 24/5

(Продолжение в следующем сообщении...)