Question

Дан треугольник ABC. Вася нарисовал на плоскости синим цветом три ГМТ, заданных равенствами: AX2−BX2=1,AX2−BX2=2,AX2−BX2=3. Петя нарисовал на плоскости красным цветом три других ГМТ, заданных равенствами: CX2−BX2=1,CX2−BX2=2,CX2−BX2=3. Маша нашла точки пересечения ГМТ Васи и ГМТ Пети (то есть точки, покрашенные и синим, и красным цветом) и спроецировала полученные точки на прямую AC. Сколько различных точек на прямой AC она получила?

Answer 1

Ответ:

5

Объяснение:

Всего получилось 9 точек пересечения. Крайние точки слева и справа дают по одной проекции. Три центральные точки дают тоже всего одну проекцию. Внутренние две точки слева и две точки справа тоже дают по одной проекции. Итого получается 5 проекций.

Answer 2

Давайте разберемся шаг за шагом:

1. У Васи ГМТ заданы уравнения: AX^2 - BX^2 = 1, AX^2 - BX^2 = 2, AX^2 - BX^2 = 3. Эти уравнения можно упростить до: AX^2 - BX^2 = k, где k = 1, 2, 3.

2. У Пети ГМТ заданы уравнения: CX^2 - BX^2 = 1, CX^2 - BX^2 = 2, CX^2 - BX^2 = 3. Эти уравнения также можно упростить до: CX^2 - BX^2 = k.

3. Теперь, чтобы найти точки пересечения ГМТ Васи и ГМТ Пети, нужно решить систему уравнений, состоящую из соответствующих уравнений Васи и Пети: AX^2 - BX^2 = k CX^2 - BX^2 = k

4. Выразим BX^2 из обоих уравнений: BX^2 = AX^2 - k BX^2 = CX^2 - k

5. Приравниваем выражения для BX^2 и решаем уравнение относительно X^2: AX^2 - k = CX^2 - k AX^2 = CX^2 X^2 = CX^2 / A

6. Это уравнение показывает, что квадрат координаты X точки пересечения находится пропорционально квадрату координаты CX точки Пети и обратно пропорционален коэффициенту A у ГМТ Васи.

7. Теперь проектируем точки пересечения на прямую AC. Поскольку точки проецируются перпендикулярно, то для каждой точки (X, Y) точка проекции будет иметь координату Y (так как Y соответствует прямой AC).

8. Итак, для каждой точки пересечения мы имеем X^2 = CX^2 / A. Таким образом, на прямой AC будет столько различных точек, сколько различных значений может принимать X^2 в зависимости от различных значений CX^2 / A.

9. Сколько различных значений CX^2 / A может быть? Поскольку A - это константа, а CX^2 меняется для каждой из ГМТ Пети, у нас будет столько различных значений CX^2 / A, сколько у нас есть различных ГМТ Пети (то есть уравнений CX^2 - BX^2 = k).

10. Если у Пети также три уравнения, как и у Васи, то у неё будет три различных точки пересечения, которые можно спроецировать на прямую AC.

Итак, в данном случае Маша получит три различных точки на прямой AC, которые соответствуют точкам пересечения ГМТ Васи и ГМТ Пети.