Question

Сторона AB, равная 8, правильного треугольника ABC лежит в плоскости альфа, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2√7. Найдите: а) длину проекций медианы CK данного треугольника на плоскость альфа; б) расстояние от точки C до плоскости альфа

Answer 1

Ответ:

а) 2√3   б) 6.    

Объяснение:

Условие задачи.

Сторона AB, равная 8, правильного треугольника ABC лежит в плоскости альфа, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2√7. Найдите: а) длину проекций медианы CK данного треугольника на плоскость альфа; б) расстояние от точки C до плоскости альфа

Решение.

1) Так как  ΔАВС - правильный, то АВ = ВС = АС = 8.

2) В правильном треугольнике АВС его медиана СК является высотой, соответственно и в проекции АВС₁  треугольника АВС на плоскость α проекция С₁K медианы СК является и медианой, и высотой равнобедренного ΔАВС₁ со сторонами: АВ = 8, ВС₁ = АС₁ = 2√7.

3) В прямоугольном ΔАКС₁ сторона АС₁ является гипотенузой, а стороны АК и КС₁ являются катетами, при этом АК = АВ/2 = 8/2 = 4.

По теореме Пифагора находим длину проекции медианы:

С₁K = √ ((АС₁)²-(АК)²) = √ ((2√7)²-(4)²) = √ (4*7 - 16) = √12 = 2√3

Таким образом, длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость α = 2√3

4) В прямоугольном ΔАСС₁, образованном стороной АС треугольника АВС, её проекцией АС₁ на плоскость α, а также перпендикуляром СС₁, опущенным из точки С на плоскость α и являющимся кратчайшим расстоянием от точки С до плоскости α, сторона АС является гипотенузой треугольника АСС₁, а стороны АС₁ и СС₁ - его катетами. По теореме Пифагора находим СС₁:

СС₁ = √ ((АС)²-(АС₁)²) = √ ((8)²-(2√7)²) = √ (64 - 4*7) = √36 = 6.

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.

Ответ: а) длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость альфа равна 2√3; б) расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника.

а) Длина проекции медианы CK на плоскость альфа равна половине длины медианы, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В правильном треугольнике медиана является одновременно и высотой, и медианой, поэтому она делит сторону пополам.

Таким образом, длина медианы равна 8 / 2 = 4.

Следовательно, длина проекции медианы CK на плоскость альфа равна 4 / 2 = 2.

б) Расстояние от точки C до плоскости альфа равно высоте треугольника, опущенной из вершины C на плоскость альфа.

Правильный треугольник имеет высоту, проходящую через центр описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника, то есть 8 / 2 = 4.

Таким образом, высота треугольника, опущенная из вершины C на плоскость альфа, равна 4.

Ответ: а) Длина проекции медианы CK на плоскость альфа равна 2. б) Расстояние от точки C до плоскости альфа равно 4.