Question

через вершины квадрата проведены прямые, паралельные его диагоналям. докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом (свойство), то прямые, параллельные диагоналям, также пересекаются под прямым углом. Следовательно, получившаяся фигура - прямоугольник. А так как стороны этого прямоугольника равны диагоналям квадрата, которые равны между собой, то получившийся прямоугольник - квадрат.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим квадрат и его диагонали более подробно. Пусть ABCD - это квадрат, где A, B, C и D - вершины, а AC и BD - его диагонали.

Далее, давайте проведем параллельные линии к сторонам квадрата через вершины. Параллельные линии будут выглядеть так:

1. Через вершину A проведем линию параллельную стороне BC. Пусть точка пересечения этой линии с BD будет E.

2. Через вершину B проведем линию параллельную стороне AD. Пусть точка пересечения этой линии с AC будет F.

3. Через вершину C проведем линию параллельную стороне BD. Пусть точка пересечения этой линии с AC будет G.

4. Через вершину D проведем линию параллельную стороне AB. Пусть точка пересечения этой линии с BD будет H.

Теперь давайте рассмотрим треугольники в этой конструкции:

• Треугольник ABE подобен треугольнику ABC по стороне-угол-стороне, так как у них угол BAE общий, и соответственные углы равны.
• Треугольник BCF подобен треугольнику BCD по стороне-угол-стороне, так как у них угол BCF общий, и соответственные углы равны.
• Треугольник CDG подобен треугольнику CDA по стороне-угол-стороне, так как у них угол CDG общий, и соответственные углы равны.
• Треугольник DHA подобен треугольнику DAB по стороне-угол-стороне, так как у них угол DHA общий, и соответственные углы равны.

Таким образом, поскольку треугольники ABE, BCF, CDG и DHA подобны соответственным треугольникам ABCD, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. А это значит, что отношение длин отрезков AE, BF, CG и DH к стороне квадрата AB одинаково.

Теперь, если мы заметим, что отрезки AE, BF, CG и DH образуют стороны нового квадрата (по построению), то это означает, что все четыре отрезка равны между собой. И поскольку они равны относительно стороны AB, это доказывает, что точки E, F, G и H являются вершинами квадрата.

Таким образом, мы доказали, что точки пересечения прямых, проведенных через вершины квадрата и параллельных его диагоналям, действительно являются вершинами квадрата.