Question

AH — высота равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). HK — высота треугольника AHB. Оказалось, что 4HK = AB. Чему могла быть равна градусная мера угла ABC? Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей.

Answer 1

Ответ:

1. ∠АBС  ≈ 75° .

2. ∠АBС ≈ 15° .

Объяснение:

Треугольник АВН - прямоугольный (AH — высота равнобедренного треугольника ABC - дано). НК - высота из прямого угла. =>

Треугольники АВН, АКН и ВКН подобные. =>  ∠ ABC = ∠АНК.

Из прямоугольного треугольника АКН:

TgB = АК/АН => AK = KH·tgB.

Из прямоугольного треугольника BКН:

TgB = КH/BK => BK = KH/tgB.

AB = AK + BK = 4KH (дано) =>

KH·tgB + KH/tgB = 4·KH. =>

tgB + 1/tgB = 4.  => tg²B - 4tgB +1 = 0.

Решаем это квадратное уравнение и находим корни:

tgB = 2 ± √3.

tgB ≈ 3,73.  => ∠B ≈ 74,99°  ≈ 75° .

tgB ≈ 0,27.  => ∠B ≈ 15,1° ≈  15° .

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Давайте обозначим градусную меру угла ABC как x.

Также у нас есть высота HK, которая составляет 4/1 (или 4) часть от стороны AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, где угол HAB (то есть угол между высотой HK и стороной AB) равен x/2 (половина градусной меры угла ABC), и у нас есть прямой угол между стороной AB и высотой HK.

Мы знаем, что тангенс угла HAB равен отношению противолежащего катета (HK) к прилежащему катету (AH). Таким образом, мы можем записать:

tan(x/2) = HK / AH

Также мы знаем, что 4HK = AB. Подставим это в уравнение:

tan(x/2) = (1/4)AB / AH

Теперь, учитывая, что AB = 2AH (по свойствам равнобедренного треугольника), мы можем переписать уравнение:

tan(x/2) = (1/4)(2AH) / AH

Упростим:

tan(x/2) = (1/2)

Теперь найдем значение x/2, взяв арктангенс обеих сторон:

x/2 = atan(1/2)

x/2 ≈ 26.57 градусов

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы найти значение x (градусной меры угла ABC):

x ≈ 2 * 26.57 ≈ 53.14 градусов

Таким образом, градусная мера угла ABC примерно равна 53.14 градусов.