Question

В прямоугольной системе координат треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-3;0) N(1;3) K(5;0), напиши уравнение окружности, описанной около этого тр-ка. Помогите решить пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Решение:

Уравнение окружности имеет вид:

(x-x0)²+(y-y0)²=r²

Где (х0;у0) - координаты центра. r- радиус.

Подставив вместо х и у координаты данных точек получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

для упрощения записи, вместо х0 напишу х, а вместо у0 напишу у:

(-3-x)²+y²=r²

(1-x)²+(3-y)²=r²

(5-x)²+y²=r²

вычтем из первого уравнения третье:

(-3-x)²-(5-x)²=0

9+6x+x²=25-10x+x²

16x=16

x=1

тогда получаем :

16+y²=r²

(3-y)²=r²

16+y²-(3-y)²=0

16+y²=9-6y+y²

6y=-7

y=-7/6

Тогда r²=820/49

Итак уравнение окружности имеет вид:

(x-1)²+(y+7/6)²=820/49

Answer 2

Для нахождения уравнения окружности, описанной около треугольника MNK, нужно найти координаты центра окружности (h, k) и её радиуса (r). Центр окружности будет находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1. Найдем середину стороны MN. Средняя точка между M и N:

   x_MN = (-3 + 1) / 2 = -1 y_MN = (0 + 3) / 2 = 1.5

2. Найдем середину стороны NK. Средняя точка между N и K:

   x_NK = (1 + 5) / 2 = 3 y_NK = (3 + 0) / 2 = 1.5

3. Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки MN и NK. Для этого можно использовать уравнение прямой в общем виде:

   y - y1 = m(x - x1)

   Где (x1, y1) - координаты одной из точек на прямой, а m - угловой коэффициент прямой, который можно найти как разницу координат y / разницу координат x между двуми точками.

   Для отрезка MN:

   m_MN = (1.5 - 0) / (-1 - (-3)) = 1.5 / 2 = 0.75

   Используя точку M(-3, 0):

   y - 0 = 0.75(x - (-3)) y = 0.75(x + 3)

   Для отрезка NK:

   m_NK = (1.5 - 3) / (3 - 1) = (-1.5) / 2 = -0.75

   Используя точку N(1, 3):

   y - 3 = -0.75(x - 1) y = -0.75(x - 1) + 3

4. Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых, которая будет центром окружности. Для этого решим систему уравнений:

   0.75(x + 3) = -0.75(x - 1) + 3

   Упростим:

   0.75x + 2.25 = -0.75x + 0.75 + 3

   Переносим все x на одну сторону:

   0.75x + 0.75x = 3 - 0.75 - 2.25

   1.5x = 0

   x = 0

   Теперь найдем y, подставив x = 0 в одно из уравнений прямых. Давайте используем уравнение прямой MN:

   y = 0.75(0 + 3) = 0.75 * 3 = 2.25

   Таким образом, координаты центра окружности (h, k) равны (0, 2.25).

5. Теперь найдем радиус окружности. Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. Давайте используем точку M(-3, 0):

   r = sqrt((x - h)^2 + (y - k)^2) r = sqrt((-3 - 0)^2 + (0 - 2.25)^2) r = sqrt(9 + 5.0625) r = sqrt(14.0625)

Теперь у нас есть центр окружности (h, k) = (0, 2.25) и радиус r = sqrt(14.0625). Таким образом, уравнение окружности будет:

(x - 0)^2 + (y - 2.25)^2 = 14.0625