Question

1 окружность задана уравнением (x-1)^2+(y+3)^2=9 а) Укажите координаты центра и радиус окружности. б) Принадлежат ли данной окружности точки А(-1;4), B(0;1), C(4;-3). в) Напишите уравнение прямой АB. 2 Дано: A(-3;5), B(7;-3) - концы диаметра окружности. Составьте уравнение этой окружности и прямой, прохождящей через ее центр и параллельно оси абсцисс.

Answer 1

Ответ:

1.

Уравнение окружности в общем виде:

(x - a)² + (y - b)² = R²,

где (a; b) - координаты центра окружности,

R - радиус окружности.

(x - 1)² + (y - (- 3))² = 3²

а) (1; - 3) - координаты центра окружности,

R = 3

б) Если точка принадлежит окружности, то ее координаты превращают уравнение окружности в верное равенство.

А (- 1; 4)

(- 1 - 1)² + (4 + 3)² = 9

2² + 7² = 9 - неверно,

точка А (- 1; 4) не принадлежит окружности.

В (0; 1)

(0 - 1)² + (1 + 3)² = 9

1 + 16 = 9 - неверно,

точка В (0; 1) не принадлежит окружности.

С (4; 3)

(4 - 1)² + (3 + 3)² = 9

3² + 6² = 9 - неверно,

точка С (4; 3) не принадлежит окружности.

в) А (- 1; 4),  В (0; 1)

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки с координатами (х₁; у₁) и (х₂; у₂) при условии, что х₁ ≠ х₂ и у₁ ≠ у₂, задается уравнением:

$\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$

$\dfrac{x-(-1)}{0-(-1)}=\dfrac{y-4}{1-4}$

$\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-4}{-3}$

$-3(x+1)=y-4$

$-3x-3=y-4$

$\boldsymbol{y=-3x+1}$

2.

Найдем длину отрезка АВ по формуле расстояния между точками с координатами (х₁; у₁) и (х₂; у₂):

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

A (- 3; 5),   B( 7; - 3)

$AB=\sqrt{(7-(-3))^2+(-3-5)^2}=\sqrt{10^2+8^2}=$

$=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$

АВ - диаметр окружности, тогда радиус окружности:

$R=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{41}=\sqrt{41}$

Центр окружности - середина отрезка АВ.

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов:

О (х; у)

$x=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-3+7}{2}=2$

$y=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{5+(-3)}{2}=1$

O (2; 1)

Уравнение окружности:

(x - 2)² + (y - 1)² = 41

Уравнение прямой, проходящей через ее центр параллельно оси абсцисс:

y = 1

Answer 2

а) Уравнение окружности имеет вид (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данном случае уравнение окружности (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9. Сравнивая с общим уравнением окружности, видно, что центр окружности находится в точке (1, -3), а радиус равен 3.

б) Чтобы проверить, принадлежат ли точки A(-1;4), B(0;1), C(4;-3) данной окружности, подставим их координаты в уравнение окружности:

Для точки A(-1;4): (-1 - 1)^2 + (4 + 3)^2 = 0^2 + 7^2 = 49 ≠ 9 Точка A(-1;4) не принадлежит окружности.

Для точки B(0;1): (0 - 1)^2 + (1 + 3)^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17 ≠ 9 Точка B(0;1) не принадлежит окружности.

Для точки C(4;-3): (4 - 1)^2 + (-3 + 3)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 + 0 = 9 Точка C(4;-3) принадлежит окружности.

в) Уравнение прямой АВ можно составить, используя координаты двух точек A(-1;4) и B(0;1). Для этого можно воспользоваться формулой наклона прямой:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Для точек A(-1;4) и B(0;1): m = (1 - 4) / (0 - (-1)) = -3 / 1 = -3.

Таким образом, наклон прямой AB равен -3. Для составления уравнения прямой воспользуемся точкой A(-1;4):

y - y1 = m(x - x1), y - 4 = -3(x - (-1)), y - 4 = -3(x + 1).

Это уравнение прямой АВ.