Question

Дан правильный тетраэдр ABCS с ребром, равным 4. Найди расстояние между прямыми AB и CS.

Answer 1

Ответ:

2√2

Объяснение:

Прямая CS лежит в плоскости (BSC), прямая АВ пересекает эту плоскость в точке В, не лежащей на прямой CS. Значит, прямые АВ и CS скрещивающиеся.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми является длина их общего перпендикуляра.

Пусть Н - середина CS. Тогда АН и ВН - медианы и высоты равных равносторонних треугольников.

$AH=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

CS⊥AH, CS⊥BH,  ⇒ CS⊥(ABH).

Пусть К - середина АВ, тогда НК - медиана и высота равнобедренного треугольника ABH, НК⊥АВ.

CS⊥(ABH),  НК⊂(АВН),  ⇒ CS⊥HK.

Итак, НК - искомое расстояние.

АК = 1/2 АВ = 2

ΔАНК:   ∠АКН = 90°, по теореме Пифагора

  HK = √(AH² - AK²) = √((2√3)² - 2²) = √(12 - 4) = √8 = 2√2

Answer 2

Чтобы найти расстояние между прямыми AB и CS в данном правильном тетраэдре ABCS, мы можем воспользоваться методом векторов. Первым шагом является нахождение векторов, задающих данные прямые, а затем вычисление расстояния между ними.

1. Найдем вектор, задающий прямую AB. Для этого нужно вычислить разницу между координатами точек A и B: Вектор AB = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0).

2. Теперь найдем вектор, задающий прямую CS. Для этого нужно вычислить разницу между координатами точек C и S: Вектор CS = S - C = (0, 0, 4) - (0, 4, 0) = (0, -4, 4).

3. Далее, чтобы найти расстояние между этими двумя прямыми, можно воспользоваться формулой для расстояния между двуми параллельными прямыми в трехмерном пространстве:

   Расстояние между AB и CS = |(CS × AB)| / |AB|,

   где × обозначает векторное произведение, |...| обозначает длину вектора.

4. Вычислим векторное произведение (CS × AB):

   (CS × AB) = ((0, -4, 4) × (4, 0, 0)) = (0, 16, 16).

5. Теперь найдем длину вектора (CS × AB):

   |(CS × AB)| = √((0)^2 + (16)^2 + (16)^2) = √(0 + 256 + 256) = √(512).

6. Найдем длину вектора AB:

   |AB| = √((4)^2 + (0)^2 + (0)^2) = √(16 + 0 + 0) = √(16).

7. Теперь вычислим расстояние:

   Расстояние между AB и CS = |(CS × AB)| / |AB| = (√512) / (√16) = (√32).

Итак, расстояние между прямыми AB и CS в данном правильном тетраэдре равно √32 или приближенно 5.66 единицам длины (поскольку √32 ≈ 5.66).