Question

дано: треугольник ABC, равнобедренный. МN - средняя линия, делит на треугольник MBN и трапецию AMNC. Периметр получившегося треугольника MBN - 24 см. Основа ABC, AC = 12 cм. Доказать, что в трапецию AMNC можна вписать круг.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Условие возможности вписать круг в четырехугольник - сумма длин противоположных сторон равны. В трапецию можно вписать круг если она равнобедренная.

По условию треугольник АВС равнобедренный ⇒ трапеция AMNB равнобедренная (АN=СM).

MN -средняя линия к стороне АC ⇒ MN=AB/2=12/2=6 см;

периметр ΔMBN - 24 см ⇒ BN=NA=MC=(24-6)/2=9 см;

MN+AC=18, FN+CM=18 ⇒ в данную трапецию можно вписать круг.

Answer 2

Для доказательства того, что в трапецию AMNC можно вписать круг, мы можем воспользоваться свойствами средней линии треугольника.

Известно, что треугольник ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC = 12 см. Поэтому мы можем разделить треугольник на два равнобедренных треугольника ABC и ACD с помощью высоты MN.

Поскольку MN - средняя линия, она делит сторону BC пополам. Таким образом, BM = MC.

Теперь мы имеем два равнобедренных треугольника: треугольник ABC и треугольник ACD. Оба эти треугольника обладают равными углами при вершине A и равными основаниями AC.

Так как угол A в треугольнике ABC и угол A в треугольнике ACD равны, то эти два угла опираются на равные дуги AC в окружности, вписанной в треугольник ABC. Поэтому точка C также лежит на этой окружности.

Таким образом, мы доказали, что точка C, одна из вершин трапеции AMNC, лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC. А значит, трапецию AMNC можно вписать в эту окружность.