Question

Докажите, что угол между двумя касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами.

Answer 1

Ответ:

Проведем ОА и ОС - радиусы в точки касания.

По свойству касательных ОА⊥АВ и ОВ⊥ВС.

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠АОС + ∠АВС + ∠ОАВ + ∠ОСВ = 360°

• Градусная мера центрального угла равна равна градусной мере соответствующей дуги.

α + ∠АВС + 90° + 90° = 360°

∠АВС + α = 180°     (1)

• Полная окружность составляет 360°.

α + β = 360°

Вычтем из этого уравнения уравнение (1):

α + β - ∠АВС - α = 180°

β - ∠АВС = 180°

С учетом (1) получаем:

∠АВС + α = β - ∠АВС

2 · ∠АВС = β - α

$\boldsymbol{\angle ABC=\dfrac{\beta -\alpha}{2}}$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим окружность с центром в точке O и двумя точками касания касательных линий, которые мы обозначим как A и B. Пусть также C и D - точки пересечения касательных с окружностью, где C ближе к точке A, а D ближе к точке B.

Теперь давайте рассмотрим дуги AC и BD, которые заключены между сторонами угла между касательными. Для начала, обратим внимание, что угол между касательными и угол, образованный дугами AC и BD, лежат в одной и той же плоскости, так как они оба расположены внутри окружности.

Теперь давайте рассмотрим дуги AO и BO. Поскольку A и B - точки касания касательных линий, то касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания. Следовательно, угол между радиусами OA и OB и угол между касательными равны, так как они оба прямые углы.

Теперь рассмотрим дугу AB, которая также заключена между точками касания A и B. Поскольку угол между двумя радиусами, выходящими из одной точки и направленными к двум другим точкам на окружности, равен половине дуги между этими точками, то угол между радиусами OA и OB (то есть угол между касательными) равен половине дуги AB.

Теперь у нас есть следующие равенства углов:

1. Угол между касательными (угол между радиусами OA и OB) равен половине дуги AB: ∠AOB = 1/2 * ∠AB.

2. Угол между касательными (угол между радиусами OA и OB) также равен углу между дугами AC и BD: ∠AOB = ∠ACD = ∠BD.

Из этих двух равенств следует, что угол между касательными равен полуразности дуг, заключённых между его сторонами: ∠AB = 2 * ∠BD.

Таким образом, угол между касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами, что и требовалось доказать.