Question

Высота конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Найдите площадь основания конуса и площадь его поверхности.

Answer 1

Ответ:

Осевое сечение конуса это р/б треугольник( диаметр основания это основание р.б треугольника)

Высота конуса совпадает с высотой р/б треугольника.

Высота в р.б треугольнике является и медианой, и биссектрисой. И делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, рассмотрим один из них:

В нём мы знаем:

Катет в 4см и можем найти один из углов, который находится при вершине р.б.(120/2=60*)

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90*.

Найдём второй острый угол(90*-60*=30*)

Напротив угла в 30* находится катет равный половине гипотенузы.

Напротив этого угла у нас лежит катет в 4 см, значит гипотенуза равна 8 см(2*4см)

По теореме Пифагора найдём второй катет, равный радиусу:

\sqrt{8^2-4^2}= \sqrt{64-16} = \sqrt{48}

8

2

−4

2

=

64−16

=

48

r= \frac{D}{2}= \frac{\sqrt{48} }{2} = \frac{ 2\sqrt{12} }{2} =\sqrt{12}r=

2

D

=

2

48

=

2

2

12

=

12

В основании цилиндра лежит окружность , найдём площадь

S= (\sqrt{12})^2 *pi=12piS=(

12

)

2

∗pi=12pi

Объём цилиндра:

V=h*pi*r^2V=h∗pi∗r

2

V=4*(\sqrt{12})^2pi=4*12pi=48piV=4∗(

12

)

2

pi=4∗12pi=48pi

Answer 2

Для нахождения площади основания конуса и его поверхности, нам понадобится использовать геометрические формулы. В данном случае, у нас есть следующие данные:

1. Высота конуса (h) = 4 см.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса (θ) = 120°.

Сначала найдем площадь основания конуса (S_осн):

Площадь основания конуса для правильного конуса можно найти, зная радиус основания (r) и используя формулу для площади круга:

S_осн = π * r^2

Для нахождения радиуса (r), нам нужно использовать информацию о высоте конуса и угле при вершине осевого сечения. Для этого мы можем разделить конус на две части, образовав равносторонний треугольник. Половина угла при вершине этого треугольника будет равна 60°, и мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения радиуса. В данном случае, используем тангенс:

tg(60°) = r / h

r = tg(60°) * h

Теперь мы можем выразить r и найти площадь основания:

r = tg(60°) * 4 см ≈ 4√3 см

S_осн = π * (4√3 см)^2 ≈ 48π см²

Теперь, чтобы найти площадь поверхности конуса (S_пов), нужно учесть боковую поверхность. Боковая поверхность конуса равна половине произведения окружности основания и образующей конуса (l):

l = √(r^2 + h^2)

l = √((4√3 см)^2 + (4 см)^2) = √(48 + 16) см = √64 см = 8 см

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности:

S_бок = (π * r * l) / 2 S_бок = (π * (4√3 см) * (8 см)) / 2 S_бок = 16π см²

Теперь найдем площадь поверхности конуса, добавив площадь основания и боковой поверхности:

S_пов = S_осн + S_бок S_пов = 48π см² + 16π см² = 64π см²

Итак, площадь основания конуса составляет приблизительно 48π квадратных сантиметров, а площадь его поверхности равна приблизительно 64π квадратных сантиметров.