Question

Пожалуйста, помогите с заданием высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делите ее на отрезки длиной 2 см и 8 см. Найдите стороны данного треугольника​

Answer 1

Ответ:10 см, 2√5 см, 8√5 см

Решение:

Дано: Δ,∠ 90°, с- гипотенуза, $c_{a}$=2 см, $c_{b}$=8 см

Найти : с, а, b-?

Решение:

(надо знать лемму о проекциях высоты на гипотенузу)

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: $c_a = \frac{{a^2 }}{c}, c_b = \frac{{b^2}}{c}$. Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.

$a^2=c_{a}*c;\\a=\sqrt{2*(2+8)}=\sqrt{4*5}=2\sqrt{5}$(см)

$b^2=c_{b}*c;\\\\b=\sqrt{8*(2+8)}=\sqrt{8*10}=\sqrt{16*5}=8\sqrt{5}$(см)

Answer 2

Для нахождения сторон прямоугольного треугольника, проведенной высотой которого делится на отрезки длиной 2 см и 8 см, можно воспользоваться теоремой Пифагора и пропорциями.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Пусть катеты равны a и b (где a < b).
• Гипотенуза будет c.

Согласно теореме Пифагора, у нас есть следующее уравнение:

a^2 + b^2 = c^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Высота треугольника делится на отрезки длиной 2 см и 8 см, что можно записать как:

a + b = 10 см

2. Уравнение Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

Теперь решим это систему уравнений. Сначала найдем a и b из уравнения a + b = 10:

a + b = 10

Теперь выразим одну из переменных, например, a, через другую:

a = 10 - b

Теперь подставим это значение a в уравнение Пифагора:

(10 - b)^2 + b^2 = c^2

Раскроем скобки:

100 - 20b + b^2 + b^2 = c^2

Упростим:

2b^2 - 20b + 100 = c^2

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает b и c:

2b^2 - 20b + 100 = c^2

Теперь найдем b, используя известные отрезки 2 см и 8 см:

b = 8 см (потому что 2 см + 8 см = 10 см)

Теперь мы можем найти c:

2b^2 - 20b + 100 = c^2 2(8 см)^2 - 20(8 см) + 100 = c^2 2(64 см^2) - 160 см + 100 = c^2 128 см^2 - 160 см + 100 = c^2 68 см^2 = c^2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

c = √68 см ≈ 8.25 см (примерно)

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника примерно равны: a ≈ 1.75 см b = 8 см c ≈ 8.25 см