Question

1. Прямая CM перпендикулярна плоскости треугольника KLM. Докажите, что CM перпендикулярна прямой KL. 2. ABCD – квадрат, точка P – его центр.ПрямаяHP перпендикулярна к плоскости квадрата. а) Докажите, что HA = HB = HC = HD. б) Найдите HA, если AB = 8, PH = 2. и рисунки

Answer 1

Ответ:

2. б) НА = 6

Объяснение:

1.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

СМ⊥(KLM), прямая KL лежит в плоскости (KLM), значит

СМ⊥KL.

2.

а) Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, значит

РА = РВ = РС = PD.

Эти отрезки - проекции наклонных НА, НВ, НС и HD на плоскость (АВС).

Наклонные, проведенные из одной точки, равны, если равны их проекции, поэтому

НА = НВ = НС = HD.

б) АВ = 8, значит диагональ квадрата

АС = АВ√2 = 8√2

РА = 0,5 · АС = 0,5 · 8√2 = 4√2

Из прямоугольного треугольника НРА по теореме Пифагора:

НА = √(НР² + РА²) = √(4 + 32) = √36 = 6

Answer 2

Для доказательства первого утверждения, что прямая CM перпендикулярна плоскости треугольника KLM, нам нужно воспользоваться свойствами перпендикулярности. Перпендикулярность прямой к плоскости означает, что все линии, проведенные из точек этой прямой к этой плоскости, будут перпендикулярны этой плоскости.

Теперь мы знаем, что CM перпендикулярна плоскости треугольника KLM. Для доказательства того, что CM перпендикулярна прямой KL, давайте представим, что точка C находится на прямой KL, и докажем, что это противоречит предыдущему утверждению о перпендикулярности CM к плоскости KLM.

Предположим, что точка C находится на прямой KL. Тогда линия CM и линия CK (поскольку точка C находится на KL) лежат в одной плоскости KLM. Однако, по условию, линия CM перпендикулярна плоскости KLM. Это значит, что CM и CK не могут быть в одной плоскости и пересекаться под прямым углом.

Таким образом, предположение о том, что точка C лежит на прямой KL, приводит к противоречию, и мы можем заключить, что прямая CM перпендикулярна прямой KL.

Что касается второго утверждения, о квадрате ABCD и прямой HP, чтобы доказать, что HA = HB = HC = HD, нам нужно использовать свойства симметрии квадрата.

а) Поскольку P - центр квадрата, он делит диагонали AD и BC пополам. Это означает, что AP = BP и CP = DP. Также, по определению квадрата, все его стороны равны. Следовательно, HA = HP + PA = HP + PB = HB = HC = HD.

б) Если AB = 8 и PH = 2, то диагональ квадрата AC равна 8 (так как она равна двойной стороне). Теперь, так как P - центр квадрата, HP является радиусом квадрата, и она делит диагональ AC пополам. Таким образом, HA = 1/2 * AC = 1/2 * 8 = 4.