Question

В прямоугольной трапеции ABCD (угол BAD=90 градусов) основаниями AD=12 и BC=8 большая диагональ BD=20. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. а) докажите, что треугольники BMC и DMA подобны. б) найдите площадь треугольника BMC

Answer 1

Ответ:

б) $S_{BMC}=25,6$

Объяснение:

а)

∠BMC = ∠DMA как вертикальные,

∠СВМ = ∠ADM как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей BD, значит

ΔBMC ~ ΔDMA по двум углам.

б)

Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

АВ = √(BD² - AD²) = √(20² - 12²) = √(400 - 144) = √256 = 16

Проведем высоту КН через точку пересечения диагоналей.

КН = АВ = 16

Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

ΔBMC ~ ΔDMA, значит

$\dfrac{MK}{MH}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$

Пусть МК = х, тогда МН = КН - х = 16 - х

$\dfrac{x}{16-x}=\dfrac{2}{3}$

3x = 2(16 - x)

3x = 32 - 2x

5x = 32

x = 6,4

Площадь треугольника ВМС:

$\boldsymbol{S}=\dfrac{1}{2}BC\cdot MK=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6,4\boldsymbol{=25,6}$

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим треугольники BMC и DMA:

Треугольник BMC:

• BM - это половина большей диагонали BD, то есть BM = 20/2 = 10.
• MC - это половина меньшей основы трапеции, то есть MC = 8/2 = 4.
• Угол BMC - это прямой угол, так как BD является диагональю прямоугольной трапеции, а MC является её половиной.

Треугольник DMA:

• DM - это половина большей основы трапеции, то есть DM = 12/2 = 6.
• MA - это половина меньшей диагонали BD, то есть MA = 20/2 = 10.
• Угол DMA - это прямой угол, так как BD является диагональю прямоугольной трапеции, а MA является её половиной.

Теперь мы видим, что у треугольников BMC и DMA есть следующие соответственные стороны и углы:

1. BM соответствует DM (половина большей диагонали).
2. MC соответствует MA (половина меньшей основы).
3. Угол BMC соответствует углу DMA (оба прямых угла).

Согласно признаку подобия треугольников (SSS или SAS), у нас есть достаточно информации для того, чтобы утверждать, что треугольники BMC и DMA подобны. Таким образом, мы доказали часть (а) задачи.

Для части (б) мы можем использовать факт подобия треугольников, чтобы найти площадь треугольника BMC. Поскольку отношение сторон BMC к DMA равно 1:2 (BM соответствует DM, и MC соответствует MA), отношение площадей BMC к DMA будет равно (1^2):(2^2) = 1:4.

Теперь давайте обозначим площадь треугольника DMA как S_DMA. Тогда площадь треугольника BMC будет равна 1/4 * S_DMA.

Площадь треугольника DMA можно найти с помощью формулы для площади треугольника:

S_DMA = 1/2 * DM * MA = 1/2 * 6 * 10 = 30.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BMC:

S_BMC = 1/4 * S_DMA = 1/4 * 30 = 7.5.

Таким образом, площадь треугольника BMC равна 7.5 квадратным единицам.