Question

СРОЧНО!! Даю 20 баллов!! У колі проведено дві рівні хорди, що перетинаються. Доведіть, що відрізки першої хорди відповідно дорівнюють відрізкам другої хорди.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано: Хорды AB=CD пересекаются в точке О. Доказать: AO=CO, DO=BO.

Док-во: Соединим точки A B C D как на рисунке и рассмотрим треугольники ABD и CDB. Равные хорды стягивают равные дуги, значит вписанные углы ADB и CBD равны, а вписанные углы DAB и BCD опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. Поскольку в треугольнике сумма углов равна 180°, то и оставшиеся углы ABD и CDB равны. Из равенства этих двух углов (<ABD=<CDB) следует, что △DOB - равнобедренный. => DO=BO. Поскольку AB=AO+BO и CD=DO+CO, а AB=CD, то и AO=CO, чтд.

Answer 2

Для доведення цього твердження використаємо теорему про хорди, яка стверджує, що якщо дві хорди перетинаються усередині кола, то продукти їхніх віддалей від центра кола однакові.

Нехай у нас є коло з центром O, і дві рівні хорди AB і CD, які перетинаються у точці E.

Тепер ми можемо використати теорему про хорди:

OA * OB = OC * OD.

Оскільки хорди AB і CD рівні, то відстані OA і OC до центра кола також рівні, тобто OA = OC. Так само, OB = OD.

Отже, ми маємо:

OA * OB = OC * OD,

Оскільки OA = OC і OB = OD, то ми отримуємо:

OA * OB = OA * OD.

Тепер поділімо обидві сторони на OA (оскільки OA ≠ 0, бо центр кола не співпадає з точкою перетину хорд):

OB = OD.

Отже, відрізки першої хорди (AB) дорівнюють відрізкам другої хорди (CD), і ми довели твердження.