Question

Ортогональною проекцією трикутника АВС на деяку площину є прямокутний трикутник A1B1C1 такий, що катет a1c1 дорівнює 30см, медіана, проведена до гіпотенузи A1B1,- 17cm. Знайдіть кут між площинами АBC і A1B1C1, якщо площа трикутника АВС дорівнює 160коренів з 3 см ^2

Answer 1

Ответ:

30°

Объяснение:

по властивості медіана С₁М₁ до гіпотенузи А₁В₁, вона дорівнює 1/2 гіпотенузи ⇒ А₁В₁=2*С₁М₁=2*17=34 см

В₁С₁=√(А₁В₁²-А₁С₁²)=√(34²-30²)=16 см

S ΔА₁В₁С₁ =1/2А₁С₁*В₁С₁=1/2*30*16= 240 см²

Площа  це 1/2 добутку катетів трикутника

порівняв площини трикутників, виначено що відношення площин дорівнює

Cosβ=S ΔА₁В₁С₁ / S ΔАВС=240/(160√3)= √3 /2.

β= 30°

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку знайдемо довжини сторін трикутника A1B1C1, а потім використаємо їх, щоб знайти косинус кута між площинами ABC і A1B1C1.

1. Знайдемо довжину сторони A1C1. Відомо, що a1c1 = 30 см.

2. Знайдемо довжину гіпотенузи трикутника A1B1C1 за теоремою Піфагора:

   A1B1^2 = a1c1^2 + a1c1^2 A1B1^2 = 30^2 + 30^2 A1B1^2 = 900 + 900 A1B1^2 = 1800 A1B1 = √1800 см

3. Знайдемо площу трикутника ABC за формулою Герона. Площа трикутника ABC дорівнює 160 * √3 см^2. Відомо, що медіана, проведена до гіпотенузи, поділяє трикутник на два трикутники зі спільною загальною стороною у відношенні 2:1. Тобто, площа трикутника A1B1C1 дорівнює:

   Площа(A1B1C1) = 1/3 * Площа(ABC) Площа(A1B1C1) = 1/3 * (160 * √3) см^2 Площа(A1B1C1) = (160/3) * √3 см^2

4. Знайдемо висоту трикутника A1B1C1, опущену на гіпотенузу A1B1:

   H = (2/3) * (2/√3) * √1800 см H = (4/√3) * 30√3 см H = 4 * 30 см H = 120 см

5. Тепер знайдемо синус кута між площинами ABC і A1B1C1:

   sin(θ) = (протилежна сторона / гіпотенуза) = (120 см / √1800 см) = (120 / 30√2) sin(θ) = (4 / √2)

6. Знайдемо кут θ за допомогою оберненого синусу:

   θ = arcsin(4 / √2) θ ≈ 45°

Отже, кут між площинами ABC і A1B1C1 дорівнює приблизно 45 градусів.