Question

ТЕРМІНОВО Ортогональною проекцією трикутника ABC на деяку площину є прямокутний рівнобедрений трикутник А1В1С1 з гіпотенузою 12. Знайдіть кут між площинами ABC і А1В1С1, якщо площа трикутника ABC дорівнює 72.​

Answer 1

Ответ:

Пусть x = угол между плоскостями ABC и A1B1C1. Тогда по закону косинусов имеем:

12^2 = 72 + 72 - 2*72*cosx

=> 144 = 144 - 144cosx

=> 144cosx = 0

=> cosx = 0

=> х = 90°

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо скористатися властивістю, що проекція на площину є прямокутним рівнобедреним трикутником з гіпотенузою. Ми також можемо використовувати відомі дані про площу трикутника ABC і зв'язати їх зі сторонами трикутника А1В1С1.

Давайте спочатку знайдемо довжину основи трикутника А1В1С1, яка є гіпотенузою. Оскільки трикутник А1В1С1 є рівнобедреним, то його основа А1С1 дорівнює: А1С1 = 2 * В1С1 = 2 * 12 = 24.

Площа трикутника ABC може бути обчислена за формулою Герона: Площа ABC = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)), де AB, BC і CA - довжини сторін трикутника ABC, а p - півпериметр трикутника ABC.

Знаючи площу ABC = 72, ми можемо записати: 72 = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)).

Оскільки ми знаємо, що проекція ABC на площину є прямокутним рівнобедреним трикутником, то ми можемо стверджувати, що він має прямий кут, наприклад, в точці В. Це означає, що сторона AB є гіпотенузою прямокутного трикутника А1В1С1, а сторони BC і CA є його катетами. Тоді ми можемо записати: AB = 12, BC = CA = x.

Підставимо ці значення в попереднє рівняння: 72 = sqrt(p * (p - 12) * (p - x) * (p - x)).

Розкриваємо квадратний корінь: 72^2 = p * (p - 12) * (p - x) * (p - x).

Тепер розкриємо дужки та спростимо рівняння: 5184 = p^2 * (p - 12) * (p - x)^2.

Так як ми шукаємо значення кута між площинами ABC і А1В1С1