Question

на сторонах угла a отмечены точки m и k так что am=ak точка p лежит внутри угла a и pk=pm докажите что луч ap биссектриса угла mak

Answer 1

Ответ:

Тк am=ak, pk=pm, АР – общая сторона, то треугольники равны по трём сторонам (ретий признак равенства треугольников) => сходственные элементы равны. в данном случае – углы МАР и КАР, т.е. АР – биссектрисса, чтд

Answer 2

Для доказательства того, что луч AP является биссектрисой угла MAK, давайте рассмотрим два треугольника: треугольник AMP и треугольник APK.

У нас есть следующие данные:

1. AM = AK (дано).

2. PM = PK (дано).

Теперь, чтобы доказать, что луч AP является биссектрисой угла MAK, нам нужно показать, что угол MAP равен углу PAK.

Предположим, что угол MAP не равен углу PAK. Это означает, что один из них больше другого. Давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: Угол MAP больше угла PAK. Пусть угол MAP больше угла PAK. Тогда у нас есть два треугольника AMP и APK, в которых сторона AM равна стороне AK, сторона PM равна стороне PK, и угол MAP больше угла PAK.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Если угол MAP больше, то сторона MP должна быть больше стороны PK, что противоречит условию PM = PK. Таким образом, этот случай невозможен.

Случай 2: Угол PAK больше угла MAP. Пусть угол PAK больше угла MAP. Тогда у нас есть два треугольника AMP и APK, в которых сторона AM равна стороне AK, сторона PM равна стороне PK, и угол PAK больше угла MAP.

Аналогично предыдущему случаю, согласно неравенству треугольника, сторона MP должна быть больше стороны PK, что противоречит условию PM = PK. Этот случай также невозможен.

Таким образом, мы пришли к выводу, что ни один из углов MAP и PAK не может быть больше другого. Следовательно, угол MAP равен углу PAK.

Поскольку угол MAP равен углу PAK, это означает, что луч AP делит угол MAK пополам, и луч AP является биссектрисой этого угла.