Question

Сторона правильного n-кутника дорівнює 4√3. Знайдіть радіус кола, описаного навколо нього, якщо: а)n = 3; б)n = 4; в)n = 6; г)n = 12

Answer 1

Ответ:

Перевод: Сторона правильного n-угольника равна 4$\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг него, если:

а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 12.

Решение. Формула радиуса R описанной окружности вокруг правильного n-угольника со стороной a имеет вид:

$\displaystyle \tt R(n)=\dfrac{a}{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{n} } .$

Тогда

а) n = 3:

$\displaystyle \tt R(3)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{3} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin60^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} }=4.$

б) n = 4:

$\displaystyle \tt R(4)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{4} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin45^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} }=\dfrac{4\sqrt{3} }{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}.$

в) n = 6:

$\displaystyle \tt R(6)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{6} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin30^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{1}{2} }=\dfrac{4\sqrt{3} }{1}=4\sqrt{3}.$

г) n = 12:

$\displaystyle \tt R(12)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{12} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin15^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{1-cos30^0}{2} } }=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3} }{2} }{2} } }=\\\\=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{2-\sqrt{3} }{2} }{2} } }=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3} }{4} } } } =\dfrac{4\sqrt{3} }{\dfrac{2}{2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3} } }=\dfrac{4\sqrt{3} }{\sqrt{2-\sqrt{3} } }=$

$\displaystyle \tt =\dfrac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3} } }{\sqrt{2-\sqrt{3} } \cdot \sqrt{2+\sqrt{3} } }=\dfrac{4 \cdot \sqrt{6+3\sqrt{3} } }{\sqrt{4-3} }=\dfrac{4 \cdot \sqrt{6+3\sqrt{3} } }{\sqrt{1} }=4 \cdot \sqrt{6+3\sqrt{3} }.$

Answer 2

Радіус кола, описаного навколо правильного n-кутника, можна знайти за допомогою наступної формули:

$R = \dfrac{s}{2\sin(\pi/n)}$

де R - радіус кола, описаного навколо n-кутника, s - довжина однієї сторони n-кутника, n - кількість сторін у n-кутнику, а $\pi$ - число пі (приблизно 3.14159).

a) n = 3: s = 4√3 $R = \dfrac{4√3}{2\sin(\pi/3)}$

Спочатку обчислимо значення $\sin(\pi/3)$. Тривіально, $\sin(\pi/3) = √3/2$.

$R = \dfrac{4√3}{2(√3/2)} = 4$

б) n = 4: s = 4√3 $R = \dfrac{4√3}{2\sin(\pi/4)}$

Спочатку обчислимо значення $\sin(\pi/4)$. Це вже відоме значення, $\sin(\pi/4) = 1/√2$.

$R = \dfrac{4√3}{2(1/√2)} = 4√2$

в) n = 6: s = 4√3 $R = \dfrac{4√3}{2\sin(\pi/6)}$

Спочатку обчислимо значення $\sin(\pi/6)$. Це також відоме значення, $\sin(\pi/6) = 1/2$.

$R = \dfrac{4√3}{2(1/2)} = 4√3$

г) n = 12: s = 4√3 $R = \dfrac{4√3}{2\sin(\pi/12)}$

Значення $\sin(\pi/12)$ можна обчислити, використовуючи половинний кут для $\pi/6$, а потім використовуючи формулу півкута для $\pi/6$.

Спочатку обчислимо $\sin(\pi/6)$: $\sin(\pi/6) = 1/2$

Тепер обчислимо $\sin(\pi/12)$: $\sin(\pi/12) = \sqrt{(1 - \cos(\pi/6))/2} = \sqrt{(1 - √3/2)/2} = √(2 - √3)/4$

Тепер ми можемо обчислити R: $R = \dfrac{4√3}{2(√(2 - √3)/4)} = \dfrac{4√3}{√(2 - √3)/2} = \dfrac{8√3}{√(2 - √3)}$

Це вже більш складний вираз, і його можна спростити, але це буде чисельне значення. Якщо потрібно, можна обчислити R за допомогою калькулятора.

Отже, радіуси кола, описаного навколо правильного n-кутника для варіантів а), б), в) і г) дорівнюють відповідно:

а) R = 4 б) R = 4√2 в) R = 4√3 г) R = 8√3/√(2 - √3)