Question

Решите срочно пожалуйста Дан тетраэдр ABCD, ребра которого равны 1 Найти угол между плоскостями ABC и CDB

Answer 1

Проведем высоту из точки A в ΔABC и высоту из точки D в треугольнике CDB. Эти две высоты падают на одну точку, пусть на точку H. По определению,  ∠AHD это и есть угол между плоскостями ABC и CDB.

В ΔAHD, AD = 1.

AH = DH = √(AB² - (0.5BC)²) = √(1² - 0.5²) = √(3/4) = √3 / 2

По теореме косинусов:

$1^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2 * \frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2} * cos\angle AHD\\\\1 = \frac{6}{4} - \frac{3}{2}cos\angle AHD\\\\\frac{3}{2}cos\angle AHD = \frac{6}{4} - 1\\\\\frac{3}{2}cos\angle AHD = \frac{1}{2}\\\\cos\angle AHD = \frac{1}{3}$

∠AHD = arccos(1/3)

Ответ: arccos(1/3)

Answer 2

Для нахождения угла между двумя плоскостями, нам нужно найти их нормальные векторы и затем использовать скалярное произведение этих векторов.

Плоскость ABC задается точками A, B и C. Давайте найдем нормальный вектор этой плоскости. Пусть вектор AB = (1, 0, 0), вектор AC = (0, 1, 0), то нормальный вектор этой плоскости равен векторному произведению AB и AC:

N1 = AB x AC = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1).

Теперь плоскость CDB задается точками C, D и B. Пусть вектор CB = (-1, 0, 0), вектор CD = (0, -1, 0), то нормальный вектор этой плоскости равен векторному произведению CB и CD:

N2 = CB x CD = (-1, 0, 0) x (0, -1, 0) = (0, 0, 1).

Теперь у нас есть нормальные векторы для обеих плоскостей: N1 = (0, 0, 1) и N2 = (0, 0, 1). Чтобы найти угол между ними, мы можем использовать скалярное произведение:

cos(θ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|),

где θ - угол между плоскостями, N1 и N2 - нормальные векторы плоскостей, |N1| и |N2| - их длины.

В данном случае, N1 и N2 имеют длину 1 (они единичные векторы), и скалярное произведение N1 и N2 равно 1 * 1 = 1. Таким образом, угол θ можно найти следующим образом:

cos(θ) = 1 / (1 * 1) = 1, θ = arccos(1).

Теперь найдем значение угла θ:

θ = arccos(1) = 0 радианов.

Итак, угол между плоскостями ABC и CDB равен 0 радианов.