Question

Помогите с задачей Докажите что треугольник ABC прямоугольный если A (3;7;-4), B(5;-3;2) C(1;3-10) .

Answer 1

I AB I² = (7 - (-1))² + (-1 - 5)² + (3 - 3)² = 64 + 36 + 0 = 100

I AC I² = (3 - (-1))² + (-2 - 5)² + (6 - 3)² = 16 + 49 + 9 = 74

I BC I² = (3 - 7)² + (-2 -( -1))² + (6 - 3)² = 16 + 1 + 9 = 26

I AB I² = I AC I² + I BC I², поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС - прямоугольный

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам нужно убедиться, что один из углов этого треугольника является прямым (90 градусов). Для этого мы можем воспользоваться векторами AB, BC и CA и проверить, являются ли они ортогональными (перпендикулярными).

1. Вычислим векторы AB, BC и CA: Вектор AB = B - A = (5, -3, 2) - (3, 7, -4) = (2, -10, 6) Вектор BC = C - B = (1, 3, -10) - (5, -3, 2) = (-4, 6, -12) Вектор CA = A - C = (3, 7, -4) - (1, 3, -10) = (2, 4, 6)

2. Теперь проверим, являются ли эти векторы ортогональными. Для этого мы можем использовать скалярное произведение векторов. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они ортогональны.

   Для векторов AB и BC: AB · BC = (2 * -4) + (-10 * 6) + (6 * -12) = -8 - 60 - 72 = -140

   Для векторов BC и CA: BC · CA = (-4 * 2) + (6 * 4) + (-12 * 6) = -8 + 24 - 72 = -56

   Для векторов CA и AB: CA · AB = (2 * 2) + (4 * -10) + (6 * 6) = 4 - 40 + 36 = 0

3. Мы видим, что скалярное произведение векторов CA и AB равно нулю, что означает, что эти два вектора ортогональны друг другу. Это означает, что угол между векторами CA и AB равен 90 градусов. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным треугольником.