Question

Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольно-го треугольника пересекаются под углом 45°.​

Answer 1

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Проводим биссектрисы. Сумма углов треугольника, образующегося из гипотенузы и отрезков биссектрис равна 90°/2=45°. Угол этого треугольника, противолежащий гипотенузе исходного равен 180°-45°=135°.
Значит при пересечении биссектрисы образуют углы в 135° и 180°-135°=45°.
Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC является прямым (90 градусов), и биссектрисы угла A и угла C пересекаются в точке O. Мы хотим доказать, что угол BOA (угол между биссектрисой угла A и биссектрисой угла C) равен 45 градусам.

Для начала, давайте обозначим углы:

1. Угол ABO = α (половина угла BAC).
2. Угол CBO = β (половина угла BCA).

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABO. Известно, что угол ABO равен α, и угол BOA равен 90 градусов (поскольку треугольник ABC прямоугольный). Таким образом, сумма углов треугольника ABO равна 180 градусам:

α + 90 + угол BOA = 180.

Теперь выразим угол BOA через α:

угол BOA = 180 - α - 90 = 90 - α.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCO. Угол CBO равен β, и угол BCO равен 90 градусов (по определению прямоугольного треугольника). Таким образом, сумма углов треугольника BCO также равна 180 градусам:

β + 90 + угол BOC = 180.

Выразим угол BOC через β:

угол BOC = 180 - β - 90 = 90 - β.

Теперь у нас есть два выражения для угла BOA и угла BOC:

угол BOA = 90 - α, угол BOC = 90 - β.

Чтобы показать, что угол BOA равен углу BOC, мы должны установить равенство:

90 - α = 90 - β.

Для этого у нас достаточно α = β. Но по условию, α и β - это половины углов BAC и BCA соответственно, и они равны, так как биссектрисы делят углы пополам.

Таким образом, мы доказали, что угол BOA равен углу BOC, что означает, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом 45 градусов.