Question

Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 30° менший від другого, а гіпотенуза трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть менший з його катетів.​

Answer 1

Объяснение:

Нехай один з кутів буде х, тоді другий буде х-30°, і прямокутний 90°

Робим рівняння х+х-30°+90°=180°

2х+60°=180°

2х=120°

х=60°, другий кут: 60°-30°=30°

Теорема звучить так : "катет який знаходиться навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи"

тобто катет 1 = 8:2= 4 см. Цей катет буде найменшим, бо навпроти найменшого кута знаходиться найменший катет і навпаки

Answer 2

Нехай один гострий кут дорівнює x градусів, тоді інший гострий кут буде (x + 30) градусів, оскільки один з гострих кутів менший на 30° від другого.

За теоремою синусів, ми можемо записати співвідношення для трикутника:

sin(x) / a = sin(x + 30) / 8,

де "a" - менший катет, який ми шукаємо.

Далі ми можемо використовувати властивості синусів та спростити рівняння:

sin(x) / a = (sin(x)cos(30) + cos(x)sin(30)) / 8, sin(x) / a = (sin(x)(√3/2) + cos(x)(1/2)) / 8.

Тепер ми можемо помножити обидві сторони на 8, щоб позбутися дробу:

sin(x) = 8(sin(x)(√3/2) + cos(x)(1/2)).

Розкриємо дужки на правій стороні:

sin(x) = 4sin(x)√3 + 4cos(x).

Тепер розділимо обидві сторони на sin(x):

1 = 4√3 + 4cot(x).

Тепер виразимо cot(x):

4cot(x) = 1 - 4√3, cot(x) = (1 - 4√3)/4.

Тепер знайдемо значення x, використовуючи обернену функцію тангенсу:

x = arctan((1 - 4√3)/4).

Знайдене значення x дорівнює одному з гострих кутів прямокутного трикутника. Тепер, знаючи x, ми можемо знайти інший гострий кут (x + 30) і використовувати тригонометричні функції для знаходження меншого катета.