Question

Бісектриси зовнішніх кутів трикутника АВС попарно перетинаються в точках М,N,K. Виразіть величини кутів трикутника MNK через величини трикутників ABC.

Answer 1

A+B+C=180 => A/2 +B/2 +C/2 =90

Угол между внутренними биссектрисами

AIB =180 -A/2 -B/2 =90 +C/2

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

В четырехугольнике AIBK сумма противоположных углов 180.

Тогда  угол между внешними биссектрисами

AKB =180 -AIB =90 -C/2

Аналогично M =90 -A/2; N =90 -B/2

Answer 2

Для виразу величин кутів трикутника MNK через величини трикутника ABC, спершу розглянемо співвідношення між кутами трикутників ABC та їх бісектрисами зовнішніх кутів.

Нехай ∠A, ∠B і ∠C - кути трикутника ABC, а ∠A', ∠B' і ∠C' - відповідні зовнішні кути. Тоді за теоремою про бісектрису зовнішнього кута:

∠A' = ∠A + ∠B ∠B' = ∠B + ∠C ∠C' = ∠C + ∠A

Тепер ми можемо виразити кути трикутника ABC через кути трикутника MNK. Нехай ∠M, ∠N і ∠K - кути трикутника MNK.

Ми знаємо, що ∠A' = ∠M, ∠B' = ∠N і ∠C' = ∠K. Тоді:

∠M = ∠A' - ∠B = (∠A + ∠B) - ∠B = ∠A ∠N = ∠B' - ∠C = (∠B + ∠C) - ∠C = ∠B ∠K = ∠C' - ∠A = (∠C + ∠A) - ∠A = ∠C

Отже, величини кутів трикутника MNK виразились через величини відповідних кутів трикутника ABC наступним чином:

∠M = ∠A ∠N = ∠B ∠K = ∠C

Таким чином, кути трикутника MNK ідентичні відповідним кутам трикутника ABC.